Produkt (teoria kategorii)

Produkt – w teorii kategorii pojęcie będące uogólnieniem konstrukcji produktu kartezjańskiego zbiorów, produktu grup, czy produktu przestrzeni topologicznych; jest to „najogólniejszy” obiekt, mający kanoniczne rzuty do każdego z obiektów objętych tą konstrukcją (czynników). Konstrukcją dualną do produktu jest koprodukt.

Definicja

Obiekt $X$ nazywa się produktem obiektów $X_{1}$ oraz $X_{2},$ oznaczając go wtedy symbolem $X_{1}\times X_{2},$ wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia następującą własność uniwersalną:

istnieją takie morfizmy $\pi _{1}\colon X\to X_{1},\pi _{2}\colon X\to X_{2}$ nazywane rzutami kanonicznymi, że dla dowolnego obiektu $Y$ i pary morfizmów $f_{1}\colon Y\to X_{1},f_{2}\colon Y\to X_{2}$ istnieje jednoznacznie wyznaczony morfizm $f\colon Y\to X,$ dla którego następujący diagram jest przemienny:

Jednoznacznie wyznaczony morfizm $f$ nazywa się produktem morfizmów $f_{1}$ oraz $f_{2}$ i oznacza się go symbolem $\langle f_{1},f_{2}\rangle .$ Powyższą definicję produktu dwóch obiektów można rozszerzyć biorąc dowolną rodzinę obiektów indeksowanych pewnym zbiorem $I.$ Obiekt $X$ nazywa się produktem rodziny $\{X\}_{i}$ obiektów wtedy i tylko wtedy, gdy

istnieją takie morfizmy $\pi _{i}\colon X\to X_{i},$ że dla dowolnego obiektu $Y$ oraz rodziny morfizmów $f_{i}\colon Y\to X_{i}$ indeksowanej zbiorem $I$ istnieje jednoznacznie wyznaczony morfizm $f\colon Y\to X,$ dla którego następujący diagram jest przemienny dla wszystkich $i\in I{:}$

Produkt oznacza się wtedy symbolem $\prod _{i\in I}X_{i};$ jeżeli $I=\{1,\dots ,n\},$ to na oznaczenie produktu obiektów zwykle używa się oznaczenia $X_{1}\times \ldots \times X_{n},$ a produkt morfizmów często oznacza się wtedy $\langle f_{1},\dots ,f_{n}\rangle .$

Produkt można również zdefiniować wyłącznie za pomocą równań – oto przykład dla produktu dwóch obiektów:

• istnienie $f$ zachodzi dzięki operacji $\langle \cdot ,\cdot \rangle ;$
• przemienność powyższych diagramów wynika z równości $\pi _{i}\circ \langle f_{1},f_{2}\rangle =f_{i}$ dla wszystkich $f_{1},f_{2}$ oraz $i=1,2;$
• jednoznaczność $f$ wynika z równości $\langle \pi _{1}\circ f,\pi _{2}\circ f\rangle =f$ dla wszystkich $f.$

Produkt można także opisać za pomocą granicy: rodzinę obiektów można postrzegać jako diagram bez morfizmów; okazuje się, że traktując go jako funktor, mianowicie funktor ze zbioru $I$ rozpatrywanego jako kategoria dyskretna, to definicja produktu pokrywa się z definicją granicą, przy czym $\{f\}_{i}$ pełni rolę stożka, a rzuty są granicą (stożkiem granicznym).

Zamiast granicy można użyć własności uniwersalnej; dla porównania: w tym przypadku $J$ jest kategorią dyskretną z dwoma obiektami, a $C^{J}$ to po prostu kategoria produktowa $C\times C,$ przy czym funktor diagonalny $\Delta \colon C\to C\times C$ przypisuje każdemu z obiektów $X$ parę uporządkowaną $(X,X),$ a każdemu morfizmowi $f$ parę $(f,f)$ – produkt $X_{1}\times X_{2}$ w $C$ dany jest za pomocą morfizmu uniwersalnego z funktora $\Delta$ w obiekt $(X_{1},X_{2})$ w $C\times C$ – wspomniany morfizm uniwersalny składa się z obiektu $X$ należącego do kategorii $C$ i morfizmu $(X,X)\to (X_{1},X_{2})$ zawierającego rzuty.

Przykłady

• W kategorii Set produktem zbiorów $A$ i $B$ jest iloczyn kartezjański $A\times B$ wraz z rzutami $\pi _{1}((x,y))=x$ i $\pi _{2}((x,y))=y.$
• W kategorii Grp produktem jest iloczyn kartezjański grup wraz z rzutami.
• W kategorii Top produkt jest iloczynem kartezjańskim przestrzeni z topologią produktową.
• W posecie $(P,\leqslant ),$ traktowanym jako kategoria, produktem elementów $a,b$ jest $\inf\{a,b\}.$

Zobacz też

• funktory sprzężone
• koprodukt
• zagadnienia jednoznacznej faktoryzacji