Produkt (teoria kategorii)

Zobacz też: inne znaczenia słowa „produkt”.

Produkt – w teorii kategorii pojęcie będące uogólnieniem konstrukcji produktu kartezjańskiego zbiorów, produktu grup, czy produktu przestrzeni topologicznych; jest to „najogólniejszy” obiekt, mający kanoniczne rzuty do każdego z obiektów objętych tą konstrukcją (czynników). Konstrukcją dualną do produktu jest koprodukt.

DefinicjaEdytuj

Obiekt   nazywa się produktem obiektów   oraz   oznaczając go wtedy symbolem   wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia następującą własność uniwersalną:

istnieją takie morfizmy   nazywane rzutami kanonicznymi, że dla dowolnego obiektu   i pary morfizmów   istnieje jednoznacznie wyznaczony morfizm   dla którego następujący diagram jest przemienny:
 

Jednoznacznie wyznaczony morfizm   nazywa się produktem morfizmów   oraz   i oznacza się go symbolem   Powyższą definicję produktu dwóch obiektów można rozszerzyć biorąc dowolną rodzinę obiektów indeksowanych pewnym zbiorem   Obiekt   nazywa się produktem rodziny   obiektów wtedy i tylko wtedy, gdy

istnieją takie morfizmy   że dla dowolnego obiektu   oraz rodziny morfizmów   indeksowanej zbiorem   istnieje jednoznacznie wyznaczony morfizm   dla którego następujący diagram jest przemienny dla wszystkich  
 

Produkt oznacza się wtedy symbolem   jeżeli   to na oznaczenie produktu obiektów zwykle używa się oznaczenia   a produkt morfizmów często oznacza się wtedy  

Produkt można również zdefiniować wyłącznie za pomocą równań – oto przykład dla produktu dwóch obiektów:

  • istnienie   zachodzi dzięki operacji  
  • przemienność powyższych diagramów wynika z równości   dla wszystkich   oraz  
  • jednoznaczność   wynika z równości   dla wszystkich  

Produkt można także opisać za pomocą granicy: rodzinę obiektów można postrzegać jako diagram bez morfizmów; okazuje się, że traktując go jako funktor, mianowicie funktor ze zbioru   rozpatrywanego jako kategoria dyskretna, to definicja produktu pokrywa się z definicją granicą, przy czym   pełni rolę stożka, a rzuty są granicą (stożkiem granicznym).

Zamiast granicy można użyć własności uniwersalnej; dla porównania: w tym przypadku   jest kategorią dyskretną z dwoma obiektami, a   to po prostu kategoria produktowa   przy czym funktor diagonalny   przypisuje każdemu z obiektów   parę uporządkowaną   a każdemu morfizmowi   parę   – produkt   w   dany jest za pomocą morfizmu uniwersalnego z funktora   w obiekt   w   – wspomniany morfizm uniwersalny składa się z obiektu   należącego do kategorii   i morfizmu   zawierającego rzuty.

PrzykładyEdytuj

  • W kategorii Set produktem zbiorów   i   jest iloczyn kartezjański   wraz z rzutami   i  
  • W kategorii Grp produktem jest iloczyn kartezjański grup wraz z rzutami.
  • W kategorii Top produkt jest iloczynem kartezjańskim przestrzeni z topologią produktową.
  • W posecie   traktowanym jako kategoria, produktem elementów   jest  

Zobacz teżEdytuj