Propagacja błędu

Propagacja błędu, propagacja niepewności, przenoszenie się błędu – statystyczne zjawisko występujące w operacjach dokonywanych na wartościach obarczonych błędem, np. błędem pomiaru.

Wizualne przedstawienie propagacji błędu pomiarowego: wskutek pojawiania się kolejnych małych błędów w wielu pomiarach i zawężania liczby zmiennych, błąd rośnie[1]

Propagacja błędu ma miejsce, kiedy mamy do czynienia z niedokładnością wielkości obliczonej na podstawie wielu pomiarów, na których dokonano pewnych działań algebraicznych. Błąd związany z każdą ze zmierzonych wartości wnosi swój wkład do błędu wielkości końcowej.

Gdy zmienne są wartościami pomiarów eksperymentalnych, obarczone są wówczas niepewnością (błędem) ze względu na ograniczenia pomiarowe (np. precyzję urządzenia).

Dla obliczenia niepewności wielkości fizycznej, która zależy od innych wielkości które można zmierzyć bezpośrednio, najpierw należy ocenić niepewności niezależnych wielkości. Niepewność jest zazwyczaj definiowana jako błąd bezwzględny. Niepewności mogą być również definiowane jako błąd względny (Δx)/x, zapisywany zazwyczaj jako wartość procentowa. Następnie należy stwierdzić, jaki wpływ mają te niepewności na niepewność ostatecznego wyniku.

Reguła pierwiastka kwadratowego w doświadczeniach zliczeniowychEdytuj

Dla przypadkowych zdarzeń ze skończonym średnim prawdopodobieństwem, jeśli w czasie t została zliczona ilość   to najlepsze przybliżenie średniej wielkości opisuje wzór

 

Ogólna reguła przenoszenia błędów dla wielkości nieskorelowanychEdytuj

Jeśli   jest dowolną funkcją od   to

 

Pochodne cząstkoweEdytuj

Dane:  

Błąd bezwzględny
 
Wariancja
 

Przykładowe zastosowanieEdytuj

Eksperyment polega na przeprowadzeniu pomiaru napięcia na oporniku oraz natężenia płynącego przezeń prądu, oznaczonych odpowiednio   oraz   celem określenia rezystancji oznaczonej poprzez   która, zgodnie z prawem Ohma, jest równa  

Znając wyniki pomiaru wraz z ich błędami,   oraz   można wyznaczyć błąd rezystancji   następująco:

 

Przykładowe obliczeniaEdytuj

Poniżej przedstawiono obliczenie propagacji błędu dla funkcji arcus tangens, jako przykład użycia pochodnych cząstkowych do obliczenia propagacji niepewności.

Niech:

 

gdzie   błędem bezwzględnym pomiaru   Pochodna cząstkowa   po   jest równa:

 

Zatem wykorzystując propagację błędu można wyznaczyć:

 

gdzie   jest bezwzględnym błędem propagowanym.

Kombinacje linioweEdytuj

Niech   będzie zbiorem   funkcji liniowych   zmiennych:   ze współczynnikami kombinacji  

  or  

oraz niech   oznacza macierz kowariancji dla  

 

Zatem współczynniki macierzy kowariancji   są opisane wzorem:

 

Jest to ogólna forma propagacji błędu ze zbioru pewnych zmiennych na zbiór innych zmiennych. Gdy błędy   są nieskorelowane, wyrażenie upraszcza się do:

 

Nawet gdy błędy zmiennych   są nieskorelowane, błędy   są zawsze skorelowane

Wyrażenie ogólne dla pojedynczej funkcji   przyjmuje prostszą formę:

 
 

PrzykładyEdytuj

Poniższa tabela ukazuje przykłady wariancji funkcji rzeczywistych zmiennych   ze standardowym odchyleniem   współczynnikiem korelacji   oraz jednoznacznie określonymi stałymi  

Funkcja     Wariancja
       
       
       
       
       
       
       
       
       

Dla zmiennych nieskorelowanych termy kowariancji są równe zero. Wyrażenia dla funkcji złożonych mogą zostać przybliżone poprzez złożenie funkcji prostszych. Dla przykładu, poprzez mnożenie, zakładając brak korelacji danych:

 

PrzypisyEdytuj

  1. Objaśnienie rysunku na stronie 174. Rouaud, M., 2013. Probability, Statistics and Estimation Propagation of Uncertainties in Experimental Measurement.

BibliografiaEdytuj

  • Philip R Bevington, D. Keith Robinson: Data Reduction and Error Analysis for the Physical Sciences. Wyd. 3. McGraw-Hill, 2002. ISBN 0-07-119926-8. (ang.)
  • Stuart L. Meyer: Data Analysis for Scientists and Engineers. Wiley, 1975. ISBN 0-471-59995-6. (ang.)
  • John R. Taylor: Wstęp do analizy błędu pomiarowego. PWN, 1999, s. 64–102. ISBN 83-01-12876-3.

Linki zewnętrzneEdytuj