Prosta Sorgenfreya

Prosta Sorgenfreya, prosta z topologią Sorgenfreya, prosta z topologią strzałki, strzałka Niemyckiegozbiór liczb rzeczywistych z topologią wprowadzoną przez bazę:

Nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska matematyka amerykańskiego, Roberta Sorgenfreya. Przestrzeń ta, podobnie jak płaszczyzna Niemyckiego czy zbiór Cantora, jest często wykorzystywanym kontrprzykładem w topologii ogólnej.

WłasnościEdytuj

  • Topologia strzałki jest mocniejsza od naturalnej topologii (euklidesowej) na prostej. Wynika to stąd, że każdy przedział otwarty można przedstawić jako nieskończoną sumę przedziałów jednostronnie otwartych.
  • Dla dowolnych liczb rzeczywistych   przedział   jest zbiorem otwarto-domkniętym w topologii Sorgenfreya. Ponadto, dla dowolnego   zbiory
 
są również otwarto-domknięte. Oznacza to, że prosta Sorgenfreya jest całkowicie niespójna.
Dowód. Podzbiór   jest gęsty w   w topologii Sorgenfreya wtedy i tylko wtedy, gdy jest gęsty w   w zwykłej topologii euklidesowej. Niech   będzie ciągiem zbiorów otwartych i gęstych w   w topologii Sorgenfreya. Dla każdego   niech   oznacza wnętrze zbioru   w sensie topologii euklidesowej. Wówczas każdy ze zbiorów   jest również jest gęsty w   w zwykłej topologii euklidesowej. Ponieważ   z topologią euklidesową jest przestrzenią Baire’a, część wspólna wszystkich zbiorów   jest niepusta. W szczególności, część wspólna wszystkich zbiorów   jest niepusta, co kończy dowód. □

PrzypisyEdytuj

  1. Adam Emeryk, Władysław Kulpa. The Sorgenfrey line has no connected compactification. „Comm. Math. Univ. Carolinae 18”, s. 483–487, 1977. 

BibliografiaEdytuj

  • Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Wyd. pierwsze. Warszawa: PWN, 1976.
  • Arthur Steen Lynn, J. Arthur Seebach: Counterexamples in Topology. New York: Springer-Verlag, 1978, s. 75–76.