Przedłużenie analityczne

Rozszerzenie analityczne – metoda rozszerzająca dziedzinę danej funkcji analitycznej. Dzięki tej metodzie udaje się uzyskać więcej rozwiązań z funkcji, która np. w typowym rozwinięciu w szereg nieskończony jest rozbieżna lub nieciągła w zadanym początkowo otoczeniu.

Definicja

Dane są dwie funkcje analityczne określone na obszarach $D_{1}$ i $D_{2}{:}$

$f_{1}\colon D_{1}\to V_{1},$

$f_{2}\colon D_{2}\to V_{2}.$

Jeśli istnieje niepusty zbiór $U=D_{1}\cap D_{2}$ taki, że

1. $U$ jest obszarem,
2. dla każdego $z\in U$ zachodzi równość $f_{1}(z)=f_{2}(z),$

to można powiedzieć, że $f_{2}$ jest rozszerzeniem analitycznym $f_{1}$ i odwrotnie.

Zastosowanie

Popularnym sposobem na definiowanie funkcji w analizie zespolonej jest jej określenie na niewielkim obszarze, a następnie jej poszerzenie przez zastosowanie przedłużenia analitycznego. W praktyce takie rozszerzenie jest wykonywane przez ustanowienie równania funkcyjnego na niewielkiej dziedzinie, które następnie jest zastosowane do rozszerzenia dziedziny. Przykładami mogą być funkcja dzeta Riemanna i funkcja Γ.

Początkowo zostało wprowadzone pojęcie przestrzeni nakrywającej aby zdefiniować naturalną dziedzinę przedłużenia analitycznego funkcji analitycznej. Pomysł znalezienia największego przedłużenia analitycznego funkcji doprowadził z kolei do rozwoju idei powierzchni Riemanna.

Przykład

Szereg geometryczny

Rozważmy funkcję

$f_{1}(z)=1+z+z^{2}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}.$

W klasycznym ujęciu przedstawia ona sumę szeregu geometrycznego o ilorazie $z.$ Z warunku zbieżności szeregu geometrycznego wynika, że funkcja jest określona tylko dla wartości:

$\mathrm {dom} (f_{1})=D_{1}=\{z\in \mathbb {C} \colon |z|<1\}.$

Z drugiej strony sumę zbieżnego szeregu geometrycznego o ilorazie $z$ możemy zapisać jako

$f_{2}(z)={\frac {1}{1-z}},$

która jest określona dla wszystkich liczb zespolonych $z$ oprócz liczby 1:

$\mathrm {dom} (f_{2})=D_{2}=\mathbb {C} \setminus \{1\}.$

Na obszarze $D_{1}\cap D_{2}=D_{1}$ obie funkcje są sobie równe, więc funkcję $f_{2}$ możemy traktować jako przedłużenie analityczne funkcji $f_{1}$ na obszar $\mathbb {C} \setminus \{1\}$.

Wyniki uzyskiwane za pomocą funkcji $f_{2}$ teoretycznie umożliwiają obliczenie wartości szeregów rozbieżnych, np.:

$1-1+1-1+\ldots =f_{1}(-1)=f_{2}(-1)={\frac {1}{1-(-1)}}={\frac {1}{2}},$

$1+2+4+8+\ldots =f_{1}(2)=f_{2}(2)={\frac {1}{1-2}}=-1.$

W takich przypadkach problemem jest odpowiednia interpretacja wyników.

Zobacz też

• szereg 1 + 2 + 4 + 8 + …
• szereg Grandiego

Bibliografia

• MarcinM. Wójcik MarcinM., Przedłużenie analityczne Powierzchnia Riemanna, Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej AGH, 25 stycznia 2010 [zarchiwizowane z adresu 2013-04-06] .

Linki zewnętrzne

• Przedłużenie analityczne na PlanetMath. (ang.)
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Przedłużenie analityczne, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research  (ang.). (ang.)