Otwórz menu główne

Przedział a. prostopadłościan wielowymiarowypodzbiór przestrzeni afinicznej (bądź euklidesowej) będący odpowiednikiem przedziału na prostej. W przestrzeniach jedno- (prosta), dwu- (płaszczyzna) i trójwymiarowych nazywa się je czasami po prostu odcinkami, prostokątami i prostopadłościanami.

DefinicjaEdytuj

Niech   będą dowolnymi przedziałami w   Przedziałem  -wymiarowym, lub krótko: przedziałem, przestrzeni   nazywa się zbiór postaci

 

Nic nie stoi na przeszkodzie, aby punkt traktować jako przedział  -wymiarowy. W związku z tym można wyróżnić przedziały zdegenerowane, dla których   dla pewnego   w powyższej definicji jest punktem.

Często ze względów technicznych przyjmuje się, iż zbiór pusty również jest przedziałem wielowymiarowym dla   Przedziały wielowymiarowe złożone z przedziałów jednostkowych, zwykle   nazywa się czasem kostkami wielowymiarowymi.

ObjętośćEdytuj

Objętością  -wymiarową, bądź krótko: objętością, przedziału   nazywa się iloczyn długości przedziałów jednowymiarowych, których iloczyn kartezjański jest rozpatrywanym przedziałem:

 

gdzie przez   rozumie się długość przedziału jednowymiarowego, zaś przez   -wymiarowego; dla wygody indeks   bywa zwykle pomijany.

KonwencjeEdytuj

Może się zdarzyć, że dla   przedział   może być zarazem nieograniczony, jak i zdegenerowany. Wówczas wartość iloczynu definiującego objętość jest wtedy nieokreślona, gdyż występują w nim czynniki   oraz   Przykładem może być prosta   na płaszczyźnie   która jest nieograniczona i zdegenerowana. Intuicja dotycząca prostej wskazuje, iż prosta nie ma dwuwymiarowej objętości (pola). Obserwacja ta uzasadnia szeroko stosowane równości

 

Powyższa umowa obowiązuje w całej teorii miary i całki Lebesgue’a. Symbol   należy odróżnić od stosowanych w pozostałych konwencjach działań arytmetycznych na liczbach nieskończonych symboli   oraz   (ostatni bywa czasem dla skrócenia zapisu zapisywany po prostu  ), które nie ulegają zmianie w stosunku do tych dotyczących granic funkcji.

Miara zewnętrznaEdytuj

Zobacz też: miara zewnętrzna.

Przyjmuje się także, że objętość zbioru pustego jest równa zeru. Ponieważ dla przedziałów   zawieranie   pociąga za sobą nierówność   to objętość jest monotoniczna. Założenie przeliczalnej podaddytywności objętości   sprawia, że staje się ona miarą zewnętrzną. Stąd niedaleko już do określenia miary zewnętrznej Lebesgue’a wykorzystywanej przy konstrukcji miary Lebesgue’a, która służy wyznaczaniu ogólnej „objętości” podzbiorów  

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj

  • A. Birkholc: Analiza matematyczna: Funkcje wielu zmiennych. Warszawa: PWN, 1986.