Przedział wielowymiarowy

Przedział a. prostopadłościan wielowymiarowy – podzbiór przestrzeni afinicznej (bądź euklidesowej) będący odpowiednikiem przedziału na prostej. W przestrzeniach jedno- (prosta), dwu- (płaszczyzna) i trójwymiarowych nazywa się je czasami po prostu odcinkami, prostokątami i prostopadłościanami.

Definicja

Niech $P_{1},\dots ,P_{k}$ będą dowolnymi przedziałami w $\mathbb {R} .$ Przedziałem $k$-wymiarowym, lub krótko: przedziałem, przestrzeni $\mathbb {R} ^{k}$ nazywa się zbiór postaci

$P^{(k)}=P_{1}\times \dots \times P_{k}.$

Nic nie stoi na przeszkodzie, aby punkt traktować jako przedział $0$-wymiarowy. W związku z tym można wyróżnić przedziały zdegenerowane, dla których $P_{i}$ dla pewnego $i\in \{1,\dots ,k\}$ w powyższej definicji jest punktem.

Często ze względów technicznych przyjmuje się, iż zbiór pusty również jest przedziałem wielowymiarowym dla $k=-1.$ Przedziały wielowymiarowe złożone z przedziałów jednostkowych, zwykle $[0,1],$ nazywa się czasem kostkami wielowymiarowymi.

Objętość

Objętością $k$-wymiarową, bądź krótko: objętością, przedziału $P\subset \mathbb {R} ^{k}$ nazywa się iloczyn długości przedziałów jednowymiarowych, których iloczyn kartezjański jest rozpatrywanym przedziałem:

$|P|_{k}=|P_{1}|\dots |P_{k}|,$

gdzie przez $|\cdot |$ rozumie się długość przedziału jednowymiarowego, zaś przez $|\cdot |_{k}$ – $k$-wymiarowego; dla wygody indeks $k$ bywa zwykle pomijany.

Konwencje

Może się zdarzyć, że dla $k\geqslant 2$ przedział $P_{k}$ może być zarazem nieograniczony, jak i zdegenerowany. Wówczas wartość iloczynu definiującego objętość jest wtedy nieokreślona, gdyż występują w nim czynniki $\infty$ oraz $0.$ Przykładem może być prosta $\{(x,0)\colon x\in \mathbb {R} \}$ na płaszczyźnie $\mathbb {R} ^{2},$ która jest nieograniczona i zdegenerowana. Intuicja dotycząca prostej wskazuje, iż prosta nie ma dwuwymiarowej objętości (pola). Obserwacja ta uzasadnia szeroko stosowane równości

$0\cdot \infty =\infty \cdot 0=0.$

Powyższa umowa obowiązuje w całej teorii miary i całki Lebesgue’a. Symbol $\infty$ należy odróżnić od stosowanych w pozostałych konwencjach działań arytmetycznych na liczbach nieskończonych symboli $-\infty$ oraz $+\infty$ (ostatni bywa czasem dla skrócenia zapisu zapisywany po prostu $\infty$), które nie ulegają zmianie w stosunku do tych dotyczących granic funkcji.

Miara zewnętrzna

Przyjmuje się także, że objętość zbioru pustego jest równa zeru. Ponieważ dla przedziałów $P,Q\in \mathbb {R} ^{n}$ zawieranie $P\subseteq Q$ pociąga za sobą nierówność $|P|\leqslant |Q|,$ to objętość jest monotoniczna. Założenie przeliczalnej podaddytywności objętości $|\cdot |$ sprawia, że staje się ona miarą zewnętrzną. Stąd niedaleko już do określenia miary zewnętrznej Lebesgue’a wykorzystywanej przy konstrukcji miary Lebesgue’a, która służy wyznaczaniu ogólnej „objętości” podzbiorów $\mathbb {R} ^{n}.$

Zobacz też

• równoległościan wielowymiarowy

Bibliografia

• A. Birkholc: Analiza matematyczna: Funkcje wielu zmiennych. Warszawa: PWN, 1986.