Przekształcenie dwuliniowe

Przekształcenie dwuliniowe – funkcja z iloczynu kartezjańskiego dwóch ustalonych przestrzeni liniowych w pewną przestrzeń liniową, która jest liniowa względem obu zmiennych.

Definicja formalna

Niech $U_{1},\;U_{2},\;V$ będą przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem $K.$ Przekształcenie $A:U_{1}\times U_{2}\to V$ nazwiemy dwuliniowym, jeśli dla każdego $a\in U_{2}$ funkcja $h_{1}:U_{1}\to V$ zdefiniowana jako $h_{1}(x)=A(x,a)$ jest przekształceniem liniowym dla każdego $x\in U_{1},$ oraz jeśli dla każdego $b\in U_{1}$ funkcja $h_{2}:U_{2}\to V$ zdefiniowana jako $h_{2}(x)=A(b,x)$ jest przekształceniem liniowym dla każdego $x\in U_{2}.$ Innymi słowy, przekształcenie $A:U_{1}\times U_{2}\to V$ nazwiemy dwuliniowym, jeśli jest ono liniowe względem każdej zmiennej.

Uwaga

Z definicji łatwo wynika, że złożenie przekształcenia dwuliniowego $A:U\times U\to V,$ gdzie $U$ jest przestrzenią liniową, z rzutami $\pi _{x},\pi _{y}:U\times U\to U,$ $\pi _{x}(x,y)=x,\;\pi _{y}(x,y)=y$ jest przekształceniem liniowym.

Zobacz też

• przekształcenie liniowe
• przekształcenie wieloliniowe
• przekształcenie antyliniowe
• forma dwuliniowa
• forma wieloliniowa