Otwórz menu główne

Przekształcenie wieloliniowe

Przekształcenie wieloliniowefunkcja określona na iloczynie kartezjańskim[1] przestrzeni liniowych w tę samą przestrzeń liniową, która jest liniowa ze względu na każdy argument z osobna.

Formami wieloliniowymi nazywa się analogiczne funkcje, jeżeli docelową przestrzeń liniową zastąpi się ciałem, nad którymi zbudowane są przestrzenie liniowe dziedziny.

Jeśli liczba czynników w dziedzinie wynosi to mówi się wtedy o przekształceniach i formach -liniowych. Struktura tych przekształceń jest dobrze znana z uwagi na ich izomorficzność z przekształceniami liniowymi uzyskaną za pomocą konstrukcji iloczynu tensorowego (zob. Uogólnienia).

W osobnych artykułach opisano:

Pojęcie to uogólnia się bezpośrednio na moduły (nad ustalonym pierścieniem przemiennym) i to właśnie w ich kontekście zostanie ono opisane w tym artykule.

Funkcja symetryczna, antysymetryczna, alternującaEdytuj

Niech dane będą:

(1) przekształcenie   (niekoniecznie wieloliniowe), gdzie   są dowolnymi modułami nad pierścieniem przemiennym   gdzie  

(2) permutacja   należąca do grupy symetrycznej  

Definicja:

Zamiana argumentów funkcji   miejscami zgodnie z porządkiem wyznaczonym przez permutację   daje inną funkcję   daną wzorem  [2], przy czym funkcję   nazywa się odpowiednio:

  • symetryczną, gdy nie zmienia znaku przy dowolnej permutacji,
      dla dowolnej  
  • antysymetryczną, gdy zachowuje znak przy permutacji parzystej i zmienia go na przeciwny przy nieparzystej,
      dla dowolnej  
  • alternującą, gdy znika przy równych choć dwóch argumentach,
      dla   oraz  

W powyższych definicjach zmienne indeksowane są kolejno liczbami   jednakże własności te nie zależą od użytego porządku liczb naturalnych[3].

Tw. Jeżeli   to przekształcenie wieloliniowe   które jest alternujące, jest również antysymetryczne[4].

Tw. Dla   dowolna funkcja   jest antysymetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy

 

oraz alternująca wtedy i tylko wtedy, gdy

 

dla  [5].

Uwaga: Istnieją przekształcenia wieloliniowe, które są antysymetryczne, ale nie alternujące (zob. Przykłady).

Tw. Jeśli   jest jednością pierścienia, to zachodzi odwrócenie poprzedniego twierdzenia[6] – oznacza to, że w przypadku pierścieni takich jak ciało liczb rzeczywistych czy zespolonych terminy „antysymetryczność” i „alternacyjność” można stosować wymiennie.

Tw. Zbiór wszystkich funkcji   tworzy moduł nad pierścieniem   a przekształcenia wieloliniowe   tworzą podmoduł wspomnianego modułu[7].

Tw. Zbiór przekształceń wieloliniowych ustalonego rodzaju (tzn. symetrycznych, antysymetrycznych czy alternujących) jest podmodułem tego podmodułu[8] (zob. przestrzeń funkcyjna).

PrzykładyEdytuj

(1) Funkcja   dana wzorem

 

jest symetryczna.

(2) Funkcja   przekształcająca

  (por. wyznacznik[9])

jest antysymetryczna i alternująca

(3) Podobnie iloczyn wektorowy   czy jego zespolony odpowiednik   odwzorowujący  

Jeżeli   zawiera   czyli   w   to mnożenie   jest symetryczne, antysymetryczne, lecz nie jest alternujące.

UogólnieniaEdytuj

(1) Jeśli przekształcenie   jest wieloliniowe, a   jest liniowe, to ich złożenie   jest wieloliniowe.

(2) Jeżeli   było symetryczne, antysymetryczne lub alternujące, a   jest liniowe, to   ma tę samą własność.

W ten sposób można tworzyć nowe przekształcenia wieloliniowe (dodatkowo symetryczne, antysymetryczne czy alternujące), składając istniejące z przekształceniami liniowymi.

Przykład:  -te przekształcenie tensorowe   odwzorowujące   w   jest przekształceniem wieloliniowym na   a każde inne pochodzi od niego (zob. iloczyn tensorowy modułów).

(3) Powyższa konstrukcja może być wykonana dla dowolnych  -modułów – istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość między przekształceniami wieloliniowymi   oraz przekształceniami liniowymi   dana wzorem

 

(4) Ograniczenie się do tych samych modułów w dziedzinie umożliwia rozpatrywanie alternujących przekształceń wieloliniowych (permutowanie argumentów ma sens tylko wtedy, gdy pochodzą one z tego samego modułu), dlatego konstrukcja algebry zewnętrznej możliwa jest tylko na potędze kartezjańskiej.

(5) Df. Przekształcenie nazywa się ograniczonym, gdy istnieje liczba rzeczywista   taka że dla każdego wektora   zachodzi

 

(6) Tw. Jeśli  przestrzeniami unormowanymi nad ustalonym ciałem, a przekształcenie wieloliniowe   jest ograniczone, to jest ono też ciągłość (zob. ograniczone przekształcenie liniowe).

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Właściwie: iloczynie prostym bądź sumie prostej – w przypadku skończenie wielu czynników/składników konstrukcje te są równoważne (tzn. izomorficzne).
  2. Nową funkcję można postrzegać jako efekt działania   na   co można zapisać   zob. działanie grupy na zbiorze. Wówczas   jest równe   nie zaś   co oznacza, że działanie grupy   na zbiorze funkcji   jest prawostronne, a nie lewostronne.
  3. Twierdzenie: Jeśli   jest
    • symetryczna, to  
    • antysymetryczna, to  
    • alternująca, to  
    dla dowolnego uporządkowania   liczb  
    Dowód: Uporządkowanie   liczb naturalnych   stanowi permutację zbioru z nich złożonego oznaczaną dalej   tj.   Jeżeli   jest antysymetryczna, to   stąd dla dowolnej   zachodzi
     
    Podobnie dowodzi się niezależności dla symetryczności i alternacyjności.
  4. Przypadek   opisano w artykule o formach dwuliniowych (zob. dowód). Zupełnie jak wyżej, dla dowolnych permutacji   zachodzi   zatem definicję antysymetryczności wystarczy sprawdzić dla   generujących   np. transpozycji postaci   innymi słowy należy pokazać, że dla   dowolne wieloliniowe przekształcenie alternujące   spełnia   Wystarczy w tym wypadku rozpatrzeć przekształcenie dwuliniowe   która jest alternujące: z przypadku   jest ona antysymetryczne,   co dowodzi tezy.
  5. W poprzednim dowodzie dla antysymetryczności nie wykorzystywano (wielo)liniowości, zatem jest on poprawny dla wszystkich funkcji. Jeśli   znika dla dowolnego układu argumentów, z których dwa sąsiadujące są sobie równe, to   jest antysymetryczna, co właśnie udowodniono; stąd wartość   dla układu argumentów, z których dwa są sobie równe, jest co do znaku równa wartości dla układu argumentów, z których dwa sąsiadujące są sobie równe – z założenia wartość ta wynosi  
  6. Twierdzenie: Niech   jeżeli   to przekształcenie wieloliniowe   które jest antysymetryczne, jest również alternujące.
    Dowód: Dla ustalenia uwagi zamiast dowolnych, różnych   zostaną rozważone   Z antysymetrii   stąd   zatem   a skoro   to  
  7. W istocie moduły będące czynnikami iloczynu kartezjańskiego mogą być parami różne. Jeśli   są przekształceniami wieloliniowymi między iloczynem kartezjańskim modułów a ustalonym modułem nad wspólnym pierścieniem   to określone punktowo odwzorowania   oraz   dla   również są przekształceniami wieloliniowymi.
  8. Wynika to wprost z definicji wspomnianych rodzajów przekształceń oraz funkcji dodawania i mnożenia przez skalar określonych punktowo.
  9. Podobnie do niego definiowany permanent jest symetryczny.

BibliografiaEdytuj