Przekształcenie wieloliniowe

Ten artykuł dotyczy przekształceń wieloliniowych w ogólności. Zobacz też: przekształcenie jednoliniowe (forma jednoliniowa), przekształcenie dwuliniowe (forma dwuliniowa).

Przekształcenie wieloliniowefunkcja określona na iloczynie kartezjańskim[a] przestrzeni liniowych w daną przestrzeń liniową (nad ustalonym ciałem), która jest liniowa ze względu na każdy argument z osobna. Jeżeli docelową przestrzeń liniową zastąpi się ciałem, nad którymi zbudowane są przestrzenie liniowe dziedziny, to tego rodzaju funkcje te nazywa się formami wieloliniowymi. Jeśli liczba czynników w dziedzinie jest ustalona, równa to mówi się wtedy odpowiednio o przekształceniach i formach -liniowych; struktura tych przekształceń jest dobrze znana z uwagi na ich izomorficzność z przekształceniami liniowymi uzyskaną za pomocą konstrukcji iloczynu tensorowego (zob. Uogólnienia).

Pojęcie to uogólnia się bezpośrednio na moduły (nad ustalonym pierścieniem przemiennym) i to właśnie w ich kontekście zostanie ono opisane w tym artykule.

Potęga kartezjańskaEdytuj

Niech dane będą: (niekoniecznie wieloliniowe) przekształcenie   gdzie   są dowolnymi modułami nad pierścieniem przemiennym   gdzie   oraz permutacja   należąca do grupy symetrycznej   Zamiana argumentów funkcji   miejscami zgodnie z porządkiem wyznaczonym przez   daje inną funkcję   daną wzorem  [b]. Funkcję   nazywa się odpowiednio

  • symetryczną, gdy nie zmienia znaku przy dowolnej permutacji,
     
  • antysymetryczną, gdy zachowuje znak przy permutacji parzystej i zmienia go na przeciwny przy nieparzystej,
     
  • alternującą, gdy znika przy równych choć dwóch argumentach,
     

W powyższych definicjach zmienne indeksowane są kolejno liczbami   jednakże własności te nie zależą od użytego porządku liczb naturalnych[c]. Jeżeli   to przekształcenie wieloliniowe   które jest alternujące, jest również antysymetryczne[d]; w ogólności dla   dowolna funkcja   jest antysymetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy

 

oraz alternująca wtedy i tylko wtedy, gdy

 

dla  [e]. Istnieją przekształcenia wieloliniowe, które są antysymetryczne, ale nie alternujące (zob. Przykłady); jednakże jeśli   jest jednością pierścienia, to zachodzi odwrócenie poprzedniego twierdzenia[f] – oznacza to, że w przypadu pierścieni takich jak ciało liczb rzeczywistych, czy zespolonych terminy „antysymetryczność” i „alternacyjność” można stosować wymiennie.

Zbiór wszystkich funkcji   tworzy moduł nad pierścieniem   a przekształcenia wieloliniowe   tworzą podmoduł wspomnianego modułu[g]; ponadto zbiór przekształceń wieloliniowych ustalonego rodzaju (tzn. symetrycznych, antysymetrycznych, czy alternujących) jest podmodułem tego podmodułu[h] (zob. przestrzeń funkcyjna).

PrzykładyEdytuj

Funkcja   dana wzorem   jest symetryczna. Funkcja   przekształcająca   (por. wyznacznik[i]) jest antysymetryczna i alternująca; podobnie jak iloczyn wektorowy   czy jego zespolony odpowiednik   odwzorowujący   Jeżeli   zawiera   czyli   w   to mnożenie   jest symetryczne, antysymetryczne, lecz nie jest alternujące.

UogólnieniaEdytuj

Jeśli przekształcenie   jest wieloliniowe, a   jest liniowe, to ich złożenie   również jest wieloliniowe, a ponadto jeżeli   było symetryczne, antysymetryczne lub alternujące, to   ma tę samą własność. W ten sposób można tworzyć nowe przekształcenia wieloliniowe (symetryczne, antysymetryczne, czy alternujące), składając istniejące z przekształceniami liniowymi;  -te przekształcenie tensorowe   odwzorowujące   w   jest szczególnym przypadkiem przekształcenia wieloliniowego na   a każde inne pochodzi od niego (zob. iloczyn tensorowy modułów). W ogólności konstrukcja ta może być wykonana dla dowolnych  -modułów – istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość między przekształceniami wieloliniowymi   oraz przekształceniami liniowymi   dana wzorem

 

Ograniczenie się do tych samych modułów w dziedzinie umożliwia rozpatrywanie alternujących przekształceń wieloliniowych (permutowanie argumentów ma sens tylko wtedy, gdy pochodzą one z tego samego modułu), dlatego konstrukcja algebry zewnętrznej możliwa jest tylko na potędze kartezjańskiej.

Jeśli  przestrzeniami unormowanymi nad ustalonym ciałem, to można mówić wtedy o ograniczoności przekształcenia wieloliniowego   która pociąga jego ciągłość (zob. ograniczone przekształcenie liniowe); wspomniane przekształcenie jest ograniczone wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka stała rzeczywista   że dla każdego wektora   zachodzi

 

Zobacz teżEdytuj

UwagiEdytuj

  1. Właściwie: iloczynie prostym bądź sumie prostej – w przypadku skończenie wielu czynników/składników konstrukcje te są równoważne (tzn. izomorficzne).
  2. Nową funkcję można postrzegać jako efekt działania   na   co można zapisać   zob. działanie grupy na zbiorze. Wówczas   jest równe   nie zaś   co oznacza, że działanie grupy   na zbiorze funkcji   jest prawostronne, a nie lewostronne.
  3. Twierdzenie: Jeśli   jest
    • symetryczna, to  
    • antysymetryczna, to  
    • alternująca, to  
    dla dowolnego uporządkowania   liczb  

    Dowód: Uporządkowanie   liczb naturalnych   stanowi permutację zbioru z nich złożonego oznaczaną dalej   tj.   Jeżeli   jest antysymetryczna, to   stąd dla dowolnej   zachodzi

     

    Podobnie dowodzi się niezależności dla symetryczności i alternacyjności.

  4. Przypadek   opisano w artykule o formach dwuliniowych (zob. dowód). Zupełnie jak wyżej, dla dowolnych permutacji   zachodzi   zatem definicję antysymetryczności wystarczy sprawdzić dla   generujących   np. transpozycji postaci   innymi słowy należy pokazać, że dla   dowolne wieloliniowe przekształcenie alternujące   spełnia   Wystarczy w tym wypadku rozpatrzeć przekształcenie dwuliniowe   która jest alternujące: z przypadku   jest ona antysymetryczne,   co dowodzi tezy.
  5. W poprzednim dowodzie dla antysymetryczności nie wykorzystywano (wielo)liniowości, zatem jest on poprawny dla wszystkich funkcji. Jeśli   znika dla dowolnego układu argumentów, z których dwa sąsiadujące są sobie równe, to   jest antysymetryczna, co właśnie udowodniono; stąd wartość   dla układu argumentów, z których dwa są sobie równe, jest co do znaku równa wartości dla układu argumentów, z których dwa sąsiadujące są sobie równe – z założenia wartość ta wynosi  
  6. Twierdzenie: Niech   jeżeli   to przekształcenie wieloliniowe   które jest antysymetryczne, jest również alternujące.

    Dowód: Dla ustalenia uwagi zamiast dowolnych, różnych   zostaną rozważone   Z antysymetrii   stąd   zatem   a skoro   to  

  7. W istocie moduły będące czynnikami iloczynu kartezjańskiego mogą być parami różne. Jeśli   są przekształceniami wieloliniowymi między iloczynem kartezjańskim modułów a ustalonym modułem nad wspólnym pierścieniem   to określone punktowo odwzorowania   oraz   dla   również są przekształceniami wieloliniowymi.
  8. Wynika to wprost z definicji wspomnianych rodzajów przekształceń oraz funkcji dodawania i mnożenia przez skalar określonych punktowo.
  9. Podobnie do niego definiowany permanent jest symetryczny.

BibliografiaEdytuj