Skończenie wymiarowe przestrzenie ℓp n
edytuj
Sfera jednostkowa w przestrzeni
ℓ
3
/
2
2
{\displaystyle \ell _{3/2}^{2}}
W przestrzeni
K
n
,
{\displaystyle K^{n},}
gdzie
K
{\displaystyle K}
jest ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolonych (ze standardowo zdefiniowanymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia przez skalar ) można, dla ustalonego
p
>
0
{\displaystyle p>0}
rozważać funkcję
‖
⋅
‖
p
:
K
n
→
[
0
,
∞
)
{\displaystyle \|{\cdot }\|_{p}\colon K^{n}\to [0,\infty )}
daną wzorem
‖
x
‖
p
=
(
|
x
1
|
p
+
|
x
2
|
p
+
…
+
|
x
n
|
p
)
1
p
,
x
=
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
.
{\displaystyle \|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\ldots +|x_{n}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}},\;\;x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}).}
Dla
1
⩽
p
<
∞
{\displaystyle 1\leqslant p<\infty }
funkcja ta jest normą wraz z którą
K
n
{\displaystyle K^{n}}
jest
n
{\displaystyle n}
-wymiarową przestrzenią Banacha , oznaczaną symbolem
ℓ
p
n
.
{\displaystyle \ell _{p}^{n}.}
W przypadku
p
=
2
{\displaystyle p=2}
norma przestrzeni
ℓ
2
n
{\displaystyle \ell _{2}^{n}}
jest normą euklidesową .
Osobny artykuł: Przestrzeń l1 .
Ciągi liczbowe (o wyrazach z ciała liczb rzeczywistych bądź zespolonych) można interpretować jako wektory o nieskończonej liczbie współrzędnych i zdefiniować dla nich analogiczne działania dodawania i mnożenia przez skalar jak w przypadku przestrzeni skończenie wymiarowej:
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
,
…
)
+
(
y
1
,
y
2
,
…
,
y
n
,
…
)
=
(
x
1
+
y
1
,
x
2
+
y
2
,
…
,
x
n
+
y
n
,
…
)
,
{\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},\dots )+(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n},\dots )=(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\dots ,x_{n}+y_{n},\dots ),}
λ
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
,
…
)
=
(
λ
x
1
,
λ
x
2
,
…
,
λ
x
n
,
…
)
,
{\displaystyle \lambda (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},\dots )=(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\dots ,\lambda x_{n},\dots ),}
gdzie
λ
{\displaystyle \lambda }
jest skalarem.
Zbiór wszystkich ciągów liczbowych
V
{\displaystyle V}
z określonymi wyżej działaniami jest przestrzenią liniową nad ciałem z którego pochodzą wyrazy rozważanych ciągów. Dla ustalonego
0
<
p
<
∞
{\displaystyle 0<p<\infty }
zbiór tych wszystkich ciągów liczbowych
x
=
(
x
n
)
{\displaystyle x=(x_{n})}
dla których
‖
x
‖
p
=
(
∑
i
=
1
∞
|
x
i
|
p
)
1
p
<
∞
{\displaystyle \|x\|_{p}=\left(\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}<\infty }
tworzy podprzestrzeń liniową przestrzeni
V
.
{\displaystyle V.}
Dopuszczając
p
=
∞
,
{\displaystyle p=\infty ,}
definiuje się
‖
x
‖
∞
=
sup
{
|
x
n
|
:
n
∈
N
}
.
{\displaystyle \|x\|_{\infty }=\sup\{|x_{n}|:n\in \mathbb {N} \}.}
Przestrzenie
ℓ
p
{\displaystyle \ell _{p}}
to podprzestrzenie liniowe
V
{\displaystyle V}
dla których
ℓ
p
=
{
x
∈
V
:
‖
x
‖
p
<
∞
}
.
{\displaystyle \ell _{p}=\{x\in V:\|x\|_{p}<\infty \}.}
Powyższy wzór określa normę w
ℓ
p
{\displaystyle \ell _{p}}
dla
p
∈
[
1
,
∞
]
.
{\displaystyle p\in [1,\infty ].}
Warunek trójkąta dla normy
‖
⋅
‖
p
{\displaystyle \|{\cdot }\|_{p}}
w przypadku
p
<
∞
{\displaystyle p<\infty }
wynika z nierówności Minkowskiego :
(
∑
n
=
1
∞
[
|
a
n
|
+
|
b
n
|
]
p
)
1
p
⩽
(
∑
n
=
1
∞
|
a
n
|
p
)
1
p
+
(
∑
n
=
1
∞
|
b
n
|
p
)
1
p
,
{\displaystyle \left(\sum _{n=1}^{\infty }{\big [}|a_{n}|+|b_{n}|{\big ]}^{p}\right)^{\tfrac {1}{p}}\leqslant \left(\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|^{p}\right)^{\tfrac {1}{p}}+\left(\sum _{n=1}^{\infty }|b_{n}|^{p}\right)^{\tfrac {1}{p}},}
gdzie
(
a
n
)
,
(
b
n
)
{\displaystyle (a_{n}),\ (b_{n})}
są elementami
ℓ
p
.
{\displaystyle \ell _{p}.}
Dowód nierówności Minkowskiego opiera się o nierówność Höldera :
∑
n
=
1
∞
|
a
n
b
n
|
⩽
(
∑
n
=
1
∞
|
a
n
|
p
)
1
p
(
∑
n
=
1
∞
|
b
n
|
q
)
1
q
,
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}b_{n}|\leqslant \left(\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|^{p}\right)^{\tfrac {1}{p}}\left(\sum _{n=1}^{\infty }|b_{n}|^{q}\right)^{\tfrac {1}{q}},}
gdzie
(
a
n
)
∈
ℓ
p
,
{\displaystyle (a_{n})\in \ell _{p},}
(
b
n
)
∈
ℓ
q
,
{\displaystyle (b_{n})\in \ell _{q},}
1
/
p
+
1
/
q
=
1
;
{\displaystyle 1/p+1/q=1;}
umownie
1
/
∞
=
0.
{\displaystyle 1/\infty =0.}
Norma w przestrzeniach
ℓ
p
{\displaystyle \ell _{p}}
jest zupełna , a więc przestrzenie
ℓ
p
{\displaystyle \ell _{p}}
są przestrzeniami Banacha .
Przykładowo, niezerowy ciąg stały nie należy do żadnej przestrzeni
ℓ
p
,
p
∈
[
1
,
∞
)
,
{\displaystyle \ell _{p},\ p\in [1,\infty ),}
gdyż nie jest sumowalny w żadnej potędze. Jest on jednak ograniczony, więc jest on elementem przestrzeni
ℓ
∞
.
{\displaystyle \ell _{\infty }.}
Ciąg o wyrazie ogólnym
1
/
n
{\displaystyle 1/n}
nie należy do przestrzeni
ℓ
1
,
{\displaystyle \ell _{1},}
jednak dla każdego
p
>
1
{\displaystyle p>1}
należy on do przestrzeni
ℓ
p
.
{\displaystyle \ell _{p}.}
Przestrzenie
ℓ
1
{\displaystyle \ell _{1}}
i
ℓ
∞
{\displaystyle \ell _{\infty }}
nie są refleksywne , natomiast w przypadku
1
<
p
<
∞
{\displaystyle 1<p<\infty }
przestrzenie
ℓ
p
{\displaystyle \ell _{p}}
są. Dla
p
∈
[
1
,
∞
)
{\displaystyle p\in [1,\infty )}
przestrzeń sprzężona do
ℓ
p
{\displaystyle \ell _{p}}
jest izometrycznie izomorficzna z przestrzenią
ℓ
q
{\displaystyle \ell _{q}}
gdzie
1
/
p
+
1
/
q
=
1
{\displaystyle 1/p+1/q=1}
(konwencja:
1
/
∞
=
0
{\displaystyle 1/\infty =0}
). Dualność ta wyznaczona jest przez związek
⟨
x
,
y
⟩
=
∑
n
=
1
∞
x
n
y
n
,
x
=
(
x
n
)
n
=
1
∞
∈
ℓ
p
,
y
=
(
y
n
)
n
=
1
∞
∈
ℓ
q
.
{\displaystyle \langle x,y\rangle =\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}y_{n},\;\;x=(x_{n})_{n=1}^{\infty }\in \ell _{p},\;\;y=(y_{n})_{n=1}^{\infty }\in \ell _{q}.}
Przestrzeń
ℓ
∞
{\displaystyle \ell _{\infty }}
jest nieośrodkowa , podczas gdy dla
p
∈
[
1
,
∞
)
{\displaystyle p\in [1,\infty )}
przestrzenie
ℓ
p
{\displaystyle \ell _{p}}
są ośrodkowe.
Przestrzenie
ℓ
p
{\displaystyle \ell _{p}}
są jednostajnie wypukłe dla
1
<
p
<
∞
.
{\displaystyle 1<p<\infty .}
Przestrzeń
ℓ
p
{\displaystyle \ell _{p}}
jest (izomorficzna z) przestrzenią Hilberta wtedy i tylko wtedy, gdy
p
=
2.
{\displaystyle p=2.}
Niech
p
>
0
{\displaystyle p>0}
będzie liczbą rzeczywistą oraz niech
(
Ω
,
F
,
μ
)
{\displaystyle (\Omega ,F,\mu )}
będzie przestrzenią z miarą σ -skończoną . Niech
L
(
μ
)
{\displaystyle L(\mu )}
będzie zbiorem klas abstrakcji relacji równoważności w rodzinie wszystkich funkcji mierzalnych na
Ω
{\displaystyle \Omega }
względem relacji równoważności danej warunkiem
f
∼
g
{\displaystyle f\sim g}
wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór
{
x
∈
Ω
:
f
(
x
)
≠
g
(
x
)
}
{\displaystyle \{x\in \Omega :f(x)\neq g(x)\}}
jest
μ
{\displaystyle \mu }
-miary zero . Zbiór
L
p
(
μ
)
=
{
f
∈
L
(
μ
)
:
∫
Ω
|
f
(
x
)
|
p
μ
(
d
x
)
<
∞
}
{\displaystyle L_{p}(\mu )={\Bigg \{}f\in L(\mu ):\int \limits _{\Omega }|f(x)|^{p}\,\mu ({\mbox{d}}x)<\infty {\Bigg \}}}
ma naturalną strukturę przestrzeni liniowej .
Przestrzenie Lp dla p ⩾ 1
edytuj
Niech
p
∈
[
1
,
∞
)
.
{\displaystyle p\in [1,\infty ).}
Z nierówności Minkowskiego wynika, że wzór
‖
f
‖
L
p
(
μ
)
=
(
∫
Ω
|
f
(
x
)
|
p
μ
(
d
x
)
)
1
p
{\displaystyle \|f\|_{L_{p}(\mu )}={\Bigg (}\int \limits _{\Omega }|f(x)|^{p}\,\mu ({\mbox{d}}x){\Bigg )}^{\tfrac {1}{p}}}
definiuje normę przestrzeni
L
p
(
μ
)
.
{\displaystyle L_{p}(\mu ).}
Norma ta jest zupełna, a więc
L
p
(
μ
)
{\displaystyle L_{p}(\mu )}
jest przestrzenią Banacha. Gdy
Ω
{\displaystyle \Omega }
jest mierzalnym podzbiorem przestrzeni euklidesowej, symbolem
L
p
(
Ω
)
{\displaystyle L_{p}(\Omega )}
oznacza się przestrzeń
L
p
(
μ
)
,
{\displaystyle L_{p}(\mu ),}
gdzie
μ
{\displaystyle \mu }
jest miarą Lebesgue’a zacieśnioną do rodziny mierzalnych podzbiorów zbioru
Ω
.
{\displaystyle \Omega .}
Gdy miara
μ
{\displaystyle \mu }
jest skończona, to zachodzą inkluzje
L
p
(
μ
)
⊆
L
q
(
μ
)
{\displaystyle L_{p}(\mu )\subseteq L_{q}(\mu )}
o ile tylko
p
⩾
q
{\displaystyle p\geqslant q}
(włączając przypadek
p
=
∞
,
{\displaystyle p=\infty ,}
zdefiniowany niżej). W przypadku, gdy
μ
{\displaystyle \mu }
jest nieskończona, tj.
μ
(
Ω
)
=
∞
{\displaystyle \mu (\Omega )=\infty }
powyższe inkluzje nie zachodzą. Na przykład dla ustalonego
p
⩾
1
{\displaystyle p\geqslant 1}
funkcja
f
(
x
)
=
1
x
1
p
(
ln
2
x
+
1
)
(
x
>
0
)
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{\frac {1}{p}}(\ln ^{2}x+1)}}\;\;(x>0)}
należy do
L
p
(
0
,
∞
)
,
{\displaystyle L_{p}(0,\infty ),}
ale nie należy do
L
r
(
0
,
∞
)
,
{\displaystyle L_{r}(0,\infty ),}
gdy
r
≠
p
.
{\displaystyle r\neq p.}
Symbolem
L
∞
(
μ
)
{\displaystyle L_{\infty }(\mu )}
oznacza się przestrzeń funkcji prawie wszędzie ograniczonych, tj. takich zespolonych funkcji mierzalnych, że
ess sup
x
∈
Ω
|
f
(
x
)
|
:=
inf
{
sup
{
|
f
(
x
)
|
:
x
∈
Ω
∖
A
}
:
A
∈
A
,
μ
(
A
)
=
0
}
<
∞
,
{\displaystyle {\mbox{ess sup}}_{x\in \Omega }|f(x)|:=\inf\{\sup\{|f(x)|:x\in \Omega \setminus A\}:A\in {\mathcal {A}},\mu (A)=0\}<\infty ,}
z normą
‖
f
‖
=
ess sup
x
∈
Ω
|
f
(
x
)
|
.
{\displaystyle \|f\|={\mbox{ess sup}}_{x\in \Omega }|f(x)|.}
Przestrzenie Lp dla 0 < p < 1
edytuj
W przypadku
0
<
p
<
1
{\displaystyle 0<p<1}
nadal można mówić o przestrzeniach
L
p
,
{\displaystyle L_{p},}
nie mają już one jednak struktury przestrzeni Banacha (nie są nawet lokalnie wypukłe ).
Dla liczb nieujemnych
a
,
b
{\displaystyle a,b}
oraz liczby
0
<
p
<
1
{\displaystyle 0<p<1}
znana jest następująca nierówność :
(
a
+
b
)
p
⩽
a
p
+
b
p
,
{\displaystyle (a+b)^{p}\leqslant a^{p}+b^{p},}
z której wynika, że
Δ
p
(
f
+
g
)
⩽
Δ
p
(
f
)
+
Δ
p
(
g
)
,
{\displaystyle \Delta _{p}(f+g)\leqslant \Delta _{p}(f)+\Delta _{p}(g),}
przy czym
Δ
p
(
f
)
=
∫
|
f
(
x
)
|
p
μ
(
d
x
)
.
{\displaystyle \Delta _{p}(f)=\int |f(x)|^{p}\mu ({\mbox{d}}x).}
Na mocy powyższego, wzór
d
(
f
,
g
)
=
Δ
p
(
f
−
g
)
{\displaystyle d(f,g)=\Delta _{p}(f-g)}
określa metrykę niezmienniczą ze względu na przesunięcia w przestrzeni
L
p
(
μ
)
.
{\displaystyle L_{p}(\mu ).}
Metryka ta jest zupełna . W szczególności,
L
p
(
μ
)
{\displaystyle L_{p}(\mu )}
ma strukturę zupełnej liniowo-metrycznej , której bazę otoczeń zera tworzy rodzina kul
B
r
=
{
f
∈
L
p
(
μ
)
:
Δ
p
(
f
)
<
r
}
(
r
>
0
)
.
{\displaystyle B_{r}=\{f\in L_{p}(\mu ):\Delta _{p}(f)<r\}\;(r>0).}
Brak lokalnej wypukłości
edytuj
Dla każdej liczby
r
>
0
{\displaystyle r>0}
zachodzi związek
B
1
=
r
−
1
p
B
r
,
{\displaystyle B_{1}=r^{-{\frac {1}{p}}}B_{r},}
więc kula
B
1
{\displaystyle B_{1}}
jest ograniczona , tj. przestrzeń
L
p
(
μ
)
{\displaystyle L_{p}(\mu )}
jest lokalnie ograniczoną F-przestrzenią . Przestrzeń ta nie zawiera zbiorów wypukłych i otwartych innych niż zbiór pusty i cała przestrzeń
L
p
(
μ
)
.
{\displaystyle L_{p}(\mu ).}
Brak lokalnej wypukłości prowadzi do następującej konsekwencji: Niech
Y
{\displaystyle Y}
będzie dowolną lokalnie wypukłą przestrzenią liniowo-topologiczną i niech
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
będzie jej bazą otoczeń zera złożoną ze zbiorów wypukłych. Jeśli
T
:
L
p
(
μ
)
→
Y
{\displaystyle T\colon L_{p}(\mu )\to Y}
jest operatorem liniowym i ciągłym oraz
W
{\displaystyle W}
jest elementem bazy
B
,
{\displaystyle {\mathcal {B}},}
to
T
−
1
(
W
)
{\displaystyle T^{-1}(W)}
jest niepustym, otwartym i wypukłym podzbiorem
L
p
(
μ
)
,
{\displaystyle L_{p}(\mu ),}
tj. musi być on już równy całej przestrzeni. W konsekwencji
T
(
L
p
(
μ
)
)
{\displaystyle T(L_{p}(\mu ))}
zawiera się w każdym elemencie bazy
B
,
{\displaystyle {\mathcal {B}},}
tj.
T
{\displaystyle T}
jest operatorem zerowym.
Nierówności Höldera i Minkowskiego
edytuj
Dla przestrzeni
L
p
(
μ
)
(
0
<
p
<
1
)
{\displaystyle L_{p}(\mu )(0<p<1)}
istnieją odpowiedniki nierówności Höldera i Minkowskiego .
Nierówność Höldera: Niech
0
<
p
<
1
{\displaystyle 0<p<1}
oraz niech
p
′
=
p
/
(
p
−
1
)
.
{\displaystyle p'=p/(p-1).}
Wówczas dla
f
∈
L
p
(
μ
)
,
{\displaystyle f\in L_{p}(\mu ),}
g
∈
L
p
′
(
μ
)
{\displaystyle g\in L_{p'}(\mu )}
spełniających warunek
0
<
Δ
p
′
(
g
)
<
∞
{\displaystyle 0<\Delta _{p'}(g)<\infty }
zachodzi oszacowanie
∫
Ω
|
f
(
t
)
g
(
t
)
|
μ
(
d
t
)
⩽
(
∫
Ω
|
f
(
t
)
|
p
μ
(
d
t
)
)
1
p
(
∫
Ω
|
g
(
t
)
|
p
′
μ
(
d
t
)
)
1
p
′
.
{\displaystyle \int \limits _{\Omega }|f(t)g(t)|\,\mu ({\mbox{d}}t)\leqslant {\Bigg (}\int \limits _{\Omega }|f(t)|^{p}\,\mu ({\mbox{d}}t){\Bigg )}^{\frac {1}{p}}{\Bigg (}\int \limits _{\Omega }|g(t)|^{p'}\mu ({\mbox{d}}t){\Bigg )}^{\frac {1}{p'}}.}
Nierówność Minkowskiego: Dla
0
<
p
<
1
{\displaystyle 0<p<1}
oraz
f
,
g
∈
L
p
(
μ
)
{\displaystyle f,g\in L_{p}(\mu )}
zachodzi oszacowanie:
Δ
p
(
|
f
|
+
|
g
|
)
1
p
⩽
Δ
p
(
f
)
1
p
+
Δ
p
(
g
)
1
p
.
{\displaystyle \Delta _{p}(|f|+|g|)^{\frac {1}{p}}\leqslant \Delta _{p}(f)^{\frac {1}{p}}+\Delta _{p}(g)^{\frac {1}{p}}.}