Otwórz menu główne

Przestrzenie – dla ustalonej liczby dodatniej – klasy przestrzeni liniowo-topologicznych, odpowiednio: takich ciągów liczbowych, że szereg -tych potęg modułów ich wyrazów jest zbieżny oraz funkcji mierzalnych, całkowalnych w -tej potędze na ustalonym zbiorze (utożsamia się funkcje równe prawie wszędzie). W przypadku to w przestrzeniach tych można w naturalny sposób zdefiniować normę i są one wtedy przestrzeniami Banacha. Przestrzenie oraz są ponadto przestrzeniami Hilberta z odpowiednio zdefiniowanym iloczynem skalarnym. Przestrzenie są szczególnymi przypadkami przestrzeni

Przestrzenie znajdują zastosowanie w statystyce, ekonomii matematycznej i inżynierii.

Skończenie wymiarowe przestrzenie Edytuj

 
Sfera jednostkowa w przestrzeni  

W przestrzeni   gdzie   jest ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolonych (ze standardowo zdefiniowanymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia przez skalar) można, dla ustalonego   rozważać funkcję

 

daną wzorem

 

Dla   funkcja ta jest normą wraz z którą   jest  -wymiarową przestrzenią Banacha, oznaczaną symbolem   W przypadku   norma przestrzeni   jest normą euklidesową.

Przestrzenie Edytuj

Osobny artykuł: Przestrzeń l1.

Ciągi liczbowe (o wyrazach z ciała liczb rzeczywistych bądź zespolonych) można interpretować jako wektory o nieskończonej liczbie współrzędnych i zdefiniować dla nich analogiczne działania dodawania i mnożenia przez skalar jak w przypadku przestrzeni skończenie wymiarowej:

  • dodawanie:
 
  • mnożenie przez skalar:
 

gdzie   jest skalarem.

Zbiór wszystkich ciągów liczbowych   z określonymi wyżej działaniami jest przestrzenią liniową nad ciałem z którego pochodzą wyrazy rozważanych ciągów. Dla ustalonego   zbiór tych wszystkich ciągów liczbowych   dla których

 

tworzy podprzestrzeń liniową przestrzeni  

Dopuszczając   definiuje się

 

Przestrzenie   to podprzestrzenie liniowe   dla których

 

Powyższy wzór określa normę w   dla   Warunek trójkąta dla normy   w przypadku   wynika z nierówności Minkowskiego:

 

gdzie   są elementami  

Dowód nierówności Minkowskiego opiera się o nierówność Höldera:

 

gdzie       umownie  

Norma w przestrzeniach   jest zupełna, a więc przestrzenie  przestrzeniami Banacha.

Przykładowo, niezerowy ciąg stały nie należy do żadnej przestrzeni   gdyż nie jest sumowalny w żadnej potędze. Jest on jednak ograniczony, więc jest on elementem przestrzeni   Ciąg o wyrazie ogólnym   nie należy do przestrzeni   jednak dla każdego   należy on do przestrzeni  

WłasnościEdytuj

  • Przestrzenie   i   nie są refleksywne, są natomiast w przypadku   przestrzenie   są. Dla   przestrzeń sprzężona do   jest izometrycznie izomorficzna z przestrzenią   gdzie   (konwencja:  ). Dualność ta wyznaczona jest przez związek
 
  • Przestrzeń   jest nieośrodkowa, podczas gdy dla   przestrzenie   są ośrodkowe.
  • Przestrzenie  jednostajnie wypukłe dla  
  • Przestrzeń   jest (izomorficzna z) przestrzenią Hilberta wtedy i tylko wtedy, gdy  

Przestrzenie Edytuj

Niech   będzie liczbą rzeczywistą oraz niech   będzie przestrzenią z miarą σ-skończoną. Niech   będzie zbiorem klas abstrakcji relacji równoważności w rodzinie wszystkich funkcji mierzalnych na   względem relacji równoważności danej warunkiem   wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór   jest  -miary zero. Zbiór

 

ma naturalną strukturę przestrzeni liniowej.

Przestrzenie   dla  Edytuj

Niech   Z nierówności Minkowskiego wynika, że wzór

 

definiuje normę przestrzeni   Norma ta jest zupełna, a więc   jest przestrzenią Banacha. Gdy   jest mierzalnym podzbiorem przestrzeni euklidesowej, symbolem   oznacza się przestrzeń   gdzie   jest miarą Lebesgue’a zacieśnioną do rodziny mierzalnych podzbiorów zbioru  

Gdy miara   jest skończona, to zachodzą inkluzje   o ile tylko   (włączając przypadek   zdefiniowany niżej). W przypadku, gdy   jest nieskończona, tj.   powyższe inkluzje nie zachodzą. Na przykład dla ustalonego   funkcja

 

należy do   ale nie należy do   gdy  

Przestrzeń  Edytuj

Symbolem   oznacza się przestrzeń funkcji prawie wszędzie ograniczonych, tj. takich zespolonych funkcji mierzalnych, że

 

z normą

 

Przestrzenie   dla  Edytuj<p<1

W przypadku   nadal można mówić o przestrzeniach   nie mają już one jednak struktury przestrzeni Banacha (nie są nawet lokalnie wypukłe).

Dla liczb nieujemnych   oraz liczby   znana jest następująca nierówność:

 

z której wynika, że

 

przy czym   Na mocy powyższego, wzór

 

określa metrykę niezmienniczą ze względu na przesunięcia w przestrzeni   Metryka ta jest zupełna. W szczególności,   ma strukturę zupełnej liniowo-metrycznej, której bazę otoczeń zera tworzy rodzina kul

 

Brak lokalnej wypukłościEdytuj

Dla każej liczby   zachodzi związek

 

więc kula   jest ograniczona, tj. przestrzeń   jest lokalnie ograniczoną F-przestrzenią. Przestrzeń ta nie zawiera zbiorów wypukłych i otwartych innych niż zbiór pusty i cała przestrzeń   Brak lokalnej wypukłości prowadzi do następującej konsekwencji: Niech   będzie dowolną lokalnie wypukłą przestrzenią liniowo-topologiczną i niech B będzie jej bazą otoczeń zera złożoną ze zbiorów wypukłych. Jeśli   jest operatorem liniowym i ciągłym oraz   jest elementem bazy B, to   jest niepustym, otwartym i wypukłym podzbiorem   tj. musi być on już równy całej przestrzeni. W konsekwencji   zawiera się w każdym elemencie bazy B, tj.   jest operatorem zerowym.

Nierówności Höldera i MinkowskiegoEdytuj

Dla przestrzeni   istnieją odpowiedniki nierówności Höldera i Minkowskiego.

Nierówność Höldera: Niech   oraz niech   Wówczas dla     spełniających warunek   zachodzi oszacowanie

 

Nierówność Minkowskiego: Dla   oraz   zachodzi oszacowanie: