Otwórz menu główne

Przestrzeń Tichonowa

Przestrzeń Tichonowa, przestrzeń T i przestrzeń całkowicie regularna to terminy w topologii opisujące tę samą lub bardzo pokrewne własności oddzielania. Dokładniej, mówi się, że przestrzeni topologicznej punkty mogą być oddzielane od zbiorów domkniętych przez funkcje ciągłe jeśli

dla każdego zbioru domkniętego podzbioru przestrzeni i dowolnego punktu można znaleźć taką funkcję ciągłą że i dla wszystkich punktów ze zbioru

Przestrzeń topologiczna nazywa jest przestrzenią Tichonowa, gdy jest przestrzenią T1 w której punkty mogą być oddzielane od zbiorów domkniętych przez funkcje ciągłe.

Dyskusja nazewnictwaEdytuj

Istnieją pewne niekonsekwencje w użyciu terminów przestrzeń Tichonowa, przestrzeń T i przestrzeń całkowicie regularna w literaturze. Na przykład Kuratowski w swojej monografii[1] definiuje

  • przestrzeń całkowicie regularną jako przestrzeń topologiczną w której punkty mogą być oddzielane od zbiorów domkniętych przez funkcje ciągłe, oraz
  • przestrzeń Tichonowa jako przestrzeń całkowicie regularną która spełnia także Aksjomat T1.

Z drugiej strony Engelking definiuje[2]

  • bycie przestrzenią Tichonowa, bycie przestrzenią   i bycie przestrzenią całkowicie regularną jako tę samą własność (pokrywającą się z naszym znaczeniem przestrzeni Tichonowa).

Z powodu tych i podobnych rozbieżności, czytelnik literatury topologicznej powinien zawsze upewnić się co do znaczenia terminów stosowanych w danym artykule czy też książce. Wydaje się jednak że terminologia stosowana przez Engelkinga jest najbardziej popularna i my także będziemy się jej trzymać.

Termin topologia Tichonowa został wprowadzona dla uczczenia rosyjskiego matematyka Tichonowa (ros. Андрей Николаевич Тихонов).

PrzykładyEdytuj

Następujące przestrzenie topologiczne są przestrzeniami Tichonowa:

Płaszczyzna Niemyckiego nie jest przestrzenią normalną, a więc własność bycia przestrzenią T jest istotnie różna od własności bycia przestrzenią T4.

Znane są przykłady przestrzeni T3 które nie są całkowicie regularne. Na przykład podzbiór

 

płaszczyzny z topologią wprowadzoną przez bazę otoczeń   określoną dla każdego elementu   zbioru   i opisaną warunkami:

  • jeśli   to  
  • jeśli   to   składa się ze wszystkich zbiorów postaci
  gdzie   jest dowolnym skończonym podzbiorem zbioru  
  •   gdzie
 

jest przestrzenią T3, która jest przestrzenią T.

WłasnościEdytuj

  • Każda przestrzeń Tichonowa jest przestrzenią T3.
  • Podzbiór przestrzeni Tichonowa traktowany jako przestrzeń topologiczna jest znów przestrzenią Tichonowa. Własność być przestrzenią Tichonowa jest więc własnością dziedziczną.
  • Iloczyn kartezjański (z topologią Tichonowa) przestrzeni T jest przestrzenią T.
  • Każda przestrzeń Tichonowa może być zanurzona w zwartą przestrzeń Hausdorffa. Ten fakt jest jednym z głównych źródeł zainteresowania przestrzeniami T, jako że to są dokładnie te przestrzenie które mają uzwarcenia Hausdorffa.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Kuratowski, Kazimierz; Topology; Volume I. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1966, s. 120.
  2. Engelking, Ryszard; General Topology; Helderman, Berlin, 1989, s. 39. ​ISBN 3-88538-006-4​.