Przestrzeń Tichonowa
Przestrzeń Tichonowa, przestrzeń T3½ i przestrzeń całkowicie regularna to terminy w topologii opisujące tę samą lub bardzo pokrewne własności oddzielania. Dokładniej, mówi się, że przestrzeni topologicznej punkty mogą być oddzielane od zbiorów domkniętych przez funkcje ciągłe jeśli
- dla każdego zbioru domkniętego podzbioru przestrzeni i dowolnego punktu można znaleźć taką funkcję ciągłą że i dla wszystkich punktów ze zbioru
Przestrzeń topologiczna nazywa jest przestrzenią Tichonowa, gdy jest przestrzenią T1 w której punkty mogą być oddzielane od zbiorów domkniętych przez funkcje ciągłe.
Dyskusja nazewnictwa
edytujIstnieją pewne niekonsekwencje w użyciu terminów przestrzeń Tichonowa, przestrzeń T3½ i przestrzeń całkowicie regularna w literaturze. Na przykład Kuratowski w swojej monografii[1] definiuje
- przestrzeń całkowicie regularną jako przestrzeń topologiczną w której punkty mogą być oddzielane od zbiorów domkniętych przez funkcje ciągłe, oraz
- przestrzeń Tichonowa jako przestrzeń całkowicie regularną która spełnia także Aksjomat T1.
Z drugiej strony Engelking definiuje[2]
- bycie przestrzenią Tichonowa, bycie przestrzenią i bycie przestrzenią całkowicie regularną jako tę samą własność (pokrywającą się z naszym znaczeniem przestrzeni Tichonowa).
Z powodu tych i podobnych rozbieżności, czytelnik literatury topologicznej powinien zawsze upewnić się co do znaczenia terminów stosowanych w danym artykule czy też książce. Wydaje się jednak że terminologia stosowana przez Engelkinga jest najbardziej popularna i my także będziemy się jej trzymać.
Termin topologia Tichonowa został wprowadzona dla uczczenia rosyjskiego matematyka Tichonowa (ros. Андрей Николаевич Тихонов).
Przykłady
edytujNastępujące przestrzenie topologiczne są przestrzeniami Tichonowa:
- przestrzeń liczb rzeczywistych z naturalną topologią, przestrzenie euklidesowe i ogólniej przestrzenie metryczne,
- przestrzenie normalne,
- grupy topologiczne będące przestrzeniami T1,
- płaszczyzna Niemyckiego.
Płaszczyzna Niemyckiego nie jest przestrzenią normalną, a więc własność bycia przestrzenią T3½ jest istotnie różna od własności bycia przestrzenią T4.
Znane są przykłady przestrzeni T3, które nie są całkowicie regularne. Na przykład podzbiór
płaszczyzny z topologią wprowadzoną przez bazę otoczeń określoną dla każdego elementu zbioru i opisaną warunkami:
- jeśli to
- jeśli to składa się ze wszystkich zbiorów postaci
- gdzie jest dowolnym skończonym podzbiorem zbioru
- gdzie
jest przestrzenią T3, która nie jest przestrzenią T3½[potrzebny przypis].
Własności
edytuj- Każda przestrzeń Tichonowa jest przestrzenią T3.
- Podzbiór przestrzeni Tichonowa traktowany jako przestrzeń topologiczna jest znów przestrzenią Tichonowa. Własność być przestrzenią Tichonowa jest więc własnością dziedziczną.
- Iloczyn kartezjański (z topologią Tichonowa) przestrzeni T3½ jest przestrzenią T3½.
- Każda przestrzeń Tichonowa może być zanurzona w zwartą przestrzeń Hausdorffa. Ten fakt jest jednym z głównych źródeł zainteresowania przestrzeniami T3½, jako że to są dokładnie te przestrzenie które mają uzwarcenia Hausdorffa.
Zobacz też
edytujPrzypisy
edytuj- ↑ Kuratowski, Kazimierz; Topology; Volume I. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1966, s. 120.
- ↑ Engelking, Ryszard; General Topology; Helderman, Berlin, 1989, s. 39. ISBN 3-88538-006-4.