Otwórz menu główne
Ten artykuł dotyczy struktury algebraicznej. Zobacz też: przestrzeń afiniczna w ujęciu geometrii syntetycznej.

Spis treści

Dolna płaszczyzna (zielona) jest przestrzenią wektorową zanurzoną w ale górna płaszczyzna (niebieska) już nią nie jest, bowiem dla dowolnych wektorów mamy Jednakże jest prostym przykładem przestrzeni afinicznej: różnica dwóch jej elementów jest wektorem należącym do (jest to wektor przemieszczenia punktu do punktu ).
Odcinki w 2-wymiarowej przestrzeni afinicznej

Przestrzeń afiniczna – abstrakcyjna struktura uogólniająca te własności przestrzeni euklidesowych, które są niezależne od pojęć odległości i kąta. W przestrzeniach afinicznych można odejmować punkty by wyznaczyć wektory, oraz przesuwać punkt o wektor, tzn. dodawać wektory do punktu. W szczególności nie ma wyróżnionego punktu, który mógłby służyć za początek. Jednowymiarowa przestrzeń afiniczna nazywana jest prostą afiniczną, a dwuwymiarowa – płaszczyzną afiniczną.

Przestrzeń afiniczna może być postrzegana jako „krok pośredni” między przestrzenią euklidesową a przestrzenią rzutową. Przestrzeń opisywana w teoriach fizycznych (w wielu nierelatywistycznych ujęciach) jest nie tylko afiniczna, ale posiada również strukturę metryczną, a w szczególności konforemną. W ogólności jednak przestrzeń afiniczna nie musi mieć struktury metrycznej ani konforemnej.

Wprowadzenie geometryczneEdytuj

Zobacz też: geometria afiniczna.

Pojęcie przestrzeni afinicznej pojawiło się w związku z odkryciami geometrii nieeuklidesowych (różniących się od geometrii euklidesowej aksjomatem równoległości). Zakwestionowanie pojęć długości i kąta, które opierają są na pojęciu odległości, doprowadziło do przedefiniowania przestrzeni euklidesowej poprzez usunięcie z definicji wspomnianych pojęć i powiązanych z nimi elementów. Wynikiem tego było powstanie geometrii afinicznej, w której struktura algebraiczna przestrzeni okazała się mieć własności podobne do przestrzeni liniowej (ta ostatnia została zdefiniowana później, dając początek algebrze liniowej).

W geometrii syntetycznej przestrzeń afiniczna definiowana jest jako struktura składająca się z:

tak, że spełniony jest pewien zestaw aksjomatów, w tym sławny aksjomat równoległości Euklidesa.

Zgodnie z duchem programu erlangeńskiego Feliksa Kleina geometria afiniczna może być określona jako zachowująca niezmienniki przekształceń afinicznych (pokrewieństw, powinowactw).

Niżej przedstawiony jest opis abstrakcyjnej przestrzeni afinicznej wykorzystujący metody algebry liniowej.

DefinicjaEdytuj

Niech   będzie ustalonym zbiorem. Niech   będzie przestrzenią liniową nad ustalonym ciałem.

Elementy zbioru   nazywa się punktami i zapisuje pismem prostym (np.  ).

Elementy zbioru   nazywa się wektorami i zapisuje pismem półgrubym (np.  ).

Elementy ciała nazywa się skalarami i zapisuje pismem pochyłym (np.  ).

Definicja 1Edytuj

Przestrzenią afiniczną nazywa się parę   wyposażoną w działanie

 

spełniające aksjomaty:

  1.   dla dowolnego   oraz  
  2.   dla każdego  
  3. dla dowolnych   istnieje tylko jeden wektor   taki, że  

Wektor   łączący punkty   oraz   (w podanej kolejności) z aksjomatu 3 oznacza się symbolem   lub zapisuje w postaci  

Przestrzeń   nazywa się przestrzenią liniową stowarzyszoną z daną przestrzenią afiniczną lub przestrzenią wektorów swobodnych. Wymiarem przestrzeni afinicznej   nazywa się wymiar przestrzeni liniowej  

Definicja 2Edytuj

Równoważnie przestrzeń afiniczną można określić za pomocą działania odwrotnego (względem ustalonego punktu  ) do określonego w definicji,

 

które dla ustalonego   jest bijekcją postaci

 

i w której dla dowolnych   zachodzi

 

Struktura afiniczna przestrzeni liniowejEdytuj

Z każdą przestrzenią liniową   jest związana przestrzeń afiniczna, o ile przyjmie się   wtedy termin punkt zastępuje się zwykle całkowicie terminem wektor. Działanie dodawania wektorów do punktów określa się wówczas jako dodawanie elementów przestrzeni  

 

Zgodnie z definicją równoważną, w której dwóm punktom przypisuje się wektor, przestrzeń liniową można przekształcić w afiniczną dodając do niej działanie

 

Tłumaczy ono pochodzenie notacji korzystającej z odejmowania punktów w pierwszej definicji przestrzeni afinicznej. Na ogół bada się przestrzenie afiniczne skończonego wymiaru.

Baza i niezależnośćEdytuj

Układem współrzędnych afinicznych bądź bazowym lub krótko: bazą przestrzeni afinicznej skończonego wymiaru nazywa się ciąg   gdzie   jest ustalonym punktem ze zbioru   nazywanym punktem bazowym lub początkiem układu, a   jest bazą przestrzeni   Współrzędne punktu   to współrzędne wektora   względem bazy  

Układ punktów   nazywa się afinicznie lub punktowo niezależnym, jeżeli wektory  liniowo niezależne. W ten sposób   punktów przestrzeni afinicznej rozpina  -wymiarową przestrzeń liniową.

Dla każdego   wektory   stanowią układ liniowo niezależny. O ile dany punkt   daje się zapisać jako kombinację afiniczną układu afinicznie niezależnego, to można to zrobić w dokładnie jeden sposób (współrzędne jednoznacznie identyfikują punkt względem takiego układu).

Podprzestrzeń afinicznaEdytuj

Podprzestrzenią afiniczną przestrzeni afinicznej   nazywa się parę   taką, że   jest podprzestrzenią liniową   a   jest niepustym podzbiorem   która sama jest przestrzenią afiniczną. Oznacza to, że dla   określonej wyżej spełnione są warunki:

  •   dla wszystkich  
  •   dla wszystkich  

Tak jak przestrzeń afiniczną, jej podprzestrzeń opisuje się za pomocą pierwszego elementu pary. Przestrzeń   jest w tym wypadku jednoznacznie wyznaczona przez zbiór   i nosi nazwę przestrzeni kierunkowej danej podprzestrzeni afinicznej.

Przestrzeń euklidesowaEdytuj

Osobny artykuł: przestrzeń euklidesowa.

Przestrzeń   nad ciałem liczb rzeczywistych nazywa się przestrzenią euklidesową, jeżeli   jest przestrzenią skończenie wymiarową wyposażoną w iloczyn skalarny   Iloczyn skalarny wyznacza metrykę

  gdzie  

Dodatkowo określa się odległość między podprzestrzeniami   wzorem

 

Kąt między podprzestrzeniami definiuje się jako kąt między ich przestrzeniami kierunkowymi. Te, które tworzą ze sobą kąt prosty nazywa się prostopadłymi (ortogonalnymi).

UogólnieniaEdytuj

Dość zwięzłą definicją przestrzeni afinicznej jest następująca jej charakteryzacja: przestrzeń afiniczna to zbiór punktów   z działającą na nim regularnie (równoważnie: ściśle przechodnio albo przechodnio w sposób wolny) grupą addytywną przestrzeni liniowej   nad ciałem   Przestrzeń afiniczną można określić analogicznie poprzez zastąpienie przestrzeni liniowej modułem.

Zobacz teżEdytuj