Przestrzeń czasowa

Przestrzeń czasowa – dowolny domknięty podzbiór liczb rzeczywistych oznaczany Na przestrzeniach czasowych można rozważać równania Δ-różniczkowe, które są unifikacją równań różniczkowych na i równań różnicowych na oraz uogólnieniem na przestrzeniach czasowych.

Funkcje skokuEdytuj

Podstawowymi funkcjami opisującymi przestrzeń   są funkcje skoku:

  funkcja następnika/funkcja skoku przedniego (forward jump operator),
  funkcja poprzednika/funkcja skoku wstecznego (backward jump operator),
  funkcja ziarnistości (graininess function).

Klasyfikacja punktówEdytuj

Każdy punkt   ma charakteryzację poprzez funkcje skoku. Punkt   jest:

  • lewostronnie gęsty (left dense) jeżeli  
  • prawostronnie gęsty (right dense) jeżeli  
  • lewostronnie izolowany (left scattered) jeżeli  
  • prawostronnie izolowany (right scattered) jeżeli  
  • gęsty (dense) jeżeli jest jednocześnie lewo- i prawostronnie gęsty,
  • izolowany (isolated) jeżeli jednocześnie lewo- i prawostronnie izolowany.

Δ-pochodnaEdytuj

Rozpatrzmy funkcję:

 

(R można również zastąpić dowolną przestrzenią Banacha).

Δ-pochodną funkcji   w punkcie t nazwiemy liczbę   o własności:

 
  • jeżeli   i funkcja   jest ciągła w   to:  
  • jeżeli   (i   ciągła w  ), to:  

Jeśli   i    różniczkowalne w punkcie   to:

  •  
  •  
  • jeżeli dodatkowo   to:
 

CałkowanieEdytuj

Rozpatrzmy funkcję:

 

Funkcją pierwotną funkcji   nazwiemy funkcję   taką, że  

Funkcję   nazwiemy pg-ciągłą, jeżeli jest ciągła w punktach prawostronnie gęstych i istnieje skończona lewostronna granica w punktach lewostronnie gęstych.

Twierdzenie

Dla każdej funkcji pg-ciągłej istnieje jej funkcja pierwotna, na dodatek wyznaczona jednoznacznie z dokładnością do stałej.

Powyższe twierdzenie pozwala na zdefiniowanie całki dla funkcji pg-ciągłych:

 

Własności całki:

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

Podstawowe przykładyEdytuj

Jeżeli za   przyjmiemy   to:  

Jeżeli za   przyjmiemy   to:  

Zobacz teżEdytuj