Otwórz menu główne

Spis treści

Przestrzeń funkcyjnazbiór funkcji ze zbioru w zbiór z odpowiednio zdefiniowaną strukturą, która tworzy z niego przestrzeń (np. przestrzeń topologiczną, przestrzeń liniową czy przestrzeń liniowo-topologiczną). Przestrzenie funkcyjne są przestrzeniami nieskończenie wymiarowymi. Przestrzeni funkcyjnej można nadać dodatkowe, subtelniejsze struktury, np. wprowadzając definicje odległości (metryki), normy, iloczynu skalarnego, przekształcające je odpowiednio w przestrzenie funkcyjne metryczne, unormowane i unitarne, analogiczne do przestrzeni metrycznych, unormowanych i unitarnych skończonego wymiaru.

Definiowaniem przestrzeni funkcyjnych i ich strukturami zajmuje się analiza funkcjonalna.

Definicja przestrzeni funkcyjnej liniowejEdytuj

Niech   będzie przestrzenią liniową nad ciałem   zaś   – pewien zbiór. Zbiorowi funkcji   można nadać strukturę przestrzeni liniowej nad ciałem   definiując działania dodawania funkcji i mnożenia funkcji przez skalar:

(1) Sumą funkcji Jeżeli   nazywa się funkcję   taką że dla dowolnych   spełniona jest zależność

 

Wtedy pisze się  

(2) Iloczynem funkcji   przez skalar   nazywa się funkcję   taką że dla dowolnych   spełniona jest zależność

 

Wtedy pisze się  

Funkcje należące do przestrzeni liniowej nazywa się wektorami.

Liniowa niezależność funkcji. BazaEdytuj

Osobny artykuł: liniowa niezależność.

(1) Funkcje   nazywa się liniowo niezależnymi jeżeli żadnej z tych funkcji nie da się przedstawić w postaci kombinacji liniowej pozostałych funkcji.

(2) Bazą przestrzeni funkcyjnej nazywa się zbiór liniowo niezależnych funkcji danej przestrzeni.

Baza przestrzeni funkcyjnych ma nieskończenie wiele elementów.

Przykład: Przestrzeń funkcyjna liniowa, unormowanaEdytuj

(1) Zbiór   wszystkich funkcji ciągłych na odcinku domkniętym   nad ciałem liczb rzeczywistych   tworzy przestrzeń funkcyjną liniową z działania dodawania funkcjach i mnożenia przez skalar zdefiniowanymi jak wyżej.

(2) Jako bazę przestrzeni można wybrać np. funkcje potęgowe określone na zbiorze   tj.  

(3) Funkcje te są liniowo niezależne, a każdą funkcję ciągłą można wyrazić za ich pomocą, np. funkcja wykładnicza wyraża się za pomocą funkcji potęgowych wzorem

 

(4) W przestrzeni tej można zdefiniować normę funkcji wzorem

 

co oznacza, że „wielkość” funkcji jest równa największej jej wartości, jaką ma na odcinku  

Wprowadzenie normy tworzy z przestrzeni funkcyjnej przestrzeń unormowaną. Przestrzeń ta należy do ogólniejszej klasy przestrzeni Banacha, dlatego jej ogólne własności są określone przez teorię przestrzeni Banacha.

(5) Odległość w przestrzeni jest w naturalny sposób zdefiniowana przez normę

 

(6) Można zdefiniować w tej przestrzeni iloczyn skalarny np. za pomocą całki

 

Iloczyn skalarny pozwala określić ortogonalność funkcji w przestrzeni: funkcje   są ortogonalne, jeżeli   gdyż

 

skąd

 

oraz

 

pod warunkiem, że przyjmie się   (patrz: Potęgowanie). Taka definicja jest jednak niejednoznaczna dla wszystkich funkcji. Bardziej precyzyjne zdefiniowanie iloczynu skalarnego prowadzi do pojęcia przestrzeni Hilberta.

Przestrzenie funkcyjne w różnych działach matematykiEdytuj

Przestrzenie funkcyjne pojawiają się w różnych działach matematyki:

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj

  • F.W. Byron, R.W. Fuller, Matematyka w fizyce klasycznej i kwantowej, Warszawa PWN 1975, Tom 1, s. 203–223.