Przestrzeń liniowo-topologiczna

Przestrzeń liniowo-topologiczna – przestrzeń liniowa z określoną w niej topologią, dla której działania dodawania wektorów i mnożenia przez skalar są ciągłe. O topologii dodatkowo zakłada się, że każdy punkt tej przestrzeni jest zbiorem domkniętym, innymi słowy przestrzeń spełnia pierwszy aksjomat oddzielania.

Każdy punkt przestrzeni liniowo-topologicznej daje się przedstawić jako pewne przesunięcie zera. Przesunięcie jest homeomorfizmem, więc badanie własności punktów przestrzeni liniowo-topologicznych sprowadza się do badania otoczeń zera.

Można udowodnić, że każda przestrzeń liniowo-topologiczna jest przestrzenią Hausdorffa, a nawet jest przestrzenią regularną. Grupa addytywna przestrzeni liniowo-topologicznej jest grupą topologiczną. Każda przestrzeń unormowana (a więc np. dowolna przestrzeń Banacha czy Hilberta) jest przestrzenią liniowo-topologiczną.

Przestrzenie liniowo-topologiczne są głównym obiektem badań analizy funkcjonalnej. Najczęściej rozważane są przestrzenie liniowo-topologiczne będące przestrzeniami funkcyjnymi.

Definicja

Niech $(X,+,\cdot )$ będzie przestrzenią liniową nad ciałem $K$ liczb rzeczywistych bądź zespolonych i niech $\tau$ będzie topologią w zbiorze $X.$

Przestrzeń $(X,+,\cdot ,\tau )$ nazywa się przestrzenią liniowo-topologiczną, gdy $(X,\tau )$ jest T₁-przestrzenią oraz dodawanie $+\colon X\times X\to X$ i mnożenie przez skalar $\cdot \colon K\times X\to X$ są ciągłe (w sensie odpowiednich topologii produktowych).

Własności

Dla każdego punktu $x_{0}\in X$ i każdego skalara $\alpha \in K\setminus \{0\}$ odwzorowania: $x\mapsto x+x_{0},\;x\in X$ i $x\mapsto \alpha x,\;x\in X$ są homeomorfizmami przestrzeni $X$ na przestrzeń $X.$ Zasadne jest więc badanie pewnych własności przestrzeni liniowo-topologicznych tylko w odniesieniu do otoczeń zera, gdyż analogiczne wyniki przenoszą się w naturalny sposób przez homeomorfizmy na inne punkty. Domknięcie podprzestrzeni liniowej przestrzeni liniowo-topologicznej jest nadal jej podprzestrzenią. Dowodzi się także, że dowolne rozłączne domknięte i zwarte podzbiory przestrzeni $X$ dają się oddzielać zbiorami otwartymi.

Zbiory ograniczone

Nie każda przestrzeń liniowo-topologiczna jest metryzowalna, więc istnieje potrzeba wprowadzenia ogólniejszej definicji zbioru ograniczonego. Zbiór $A$ nazywa się ograniczonym, gdy dla każdego otoczenia zera $U\subseteq X$ istnieje $\alpha \in (0,\infty ),$ że $A\subseteq \alpha U=\{\alpha u\colon \;u\in U\}.$

Można wykazać, że jeśli $X$ jest jednocześnie przestrzenią unormowaną, to definicja ta jest równoważna klasycznej definicji zbioru ograniczonego. Nie jest na ogół prawdą, że jeśli $X$ jest jednocześnie przestrzenią metryczną, to powyższa definicja jest równoważna klasycznej definicji zbioru ograniczonego, nie musi być to prawda nawet wtedy, gdy metryka $\varrho$ na $X$ jest niezmiennicza, tzn. spełnia warunek $\varrho (x,y)=\varrho (x+z,y+z)$ dla $x,y,z\in X.$

Charakteryzacja zbiorów ograniczonych

Równoważnie, zbiór $A$ jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego otoczenia zera $U\subseteq X$ istnieje takie $\alpha \in (0,\infty ),$ że dla każdego $\beta \in [\alpha ,\infty )$ zbiór $A$ zawiera się w zbiorze $\beta U.$

Ograniczony podzbiór przestrzeni liniowo-topologicznej można także scharakteryzować w sposób równoważny, nieco bliższy intuicji:
Zbiór $A\subseteq X$ jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy

$\lim _{n\to \infty }\alpha _{n}x_{n}=0$

dla każdego ciągu $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ elementów tego zbioru i każdego ciągu $(\alpha _{n})_{n\in \mathbb {N} }$ elementów ciała $K,$ zbieżnego do zera.

Zbiory zbalansowane

Zbiór $A\subseteq X$ nazywa się zbalansowanym, gdy dla każdego $\alpha \in K$ takiego, że $|\alpha |\leqslant 1$ zbiór $\alpha A\subseteq A.$

Domknięcie zbioru zbalansowanego jest zbiorem zbalansowanym. Wnętrze zbioru zbalansowanego jest zbiorem zbalansowanym, o ile zawiera ono zero. Dodatkowo, każde otoczenie zera zawiera zbalansowane otoczenie zera, a każde wypukłe otoczenie zera zawiera otoczenie będące jednocześnie zbiorem wypukłym i zbalansowanym.

Klasy przestrzeni liniowo-topologicznych

W literaturze matematycznej, często spotyka się następujące nazewnictwo związane z przestrzeniami liniowo-topologicznymi. Mówi się, że przestrzeń liniowo-topologiczna (X, τ) jest:

• lokalnie wypukła, gdy w X istnieje baza otoczeń, której elementy są zbiorami wypukłymi;
• lokalnie ograniczona, jeśli zero ma ograniczone otoczenie;
• lokalnie zwarta, jeśli zero ma otoczenie, którego domknięcie jest zwarte;
• F-przestrzenią, jeśli τ jest zadana przez zupełną, niezmienniczą metrykę;
• przestrzenią Frécheta jeśli jest lokalnie wypukłą F-przestrzenią;
• normowalna, jeśli w X istnieje taka norma, że metryka zadana przez tę normę jest zgodna z τ (zob. twierdzenie Kołmogorowa o normowaniu przestrzeni liniowo-topologicznych). Ważną podklasą przestrzeni normowalnych jest klasa przestrzeni Banacha.
• przestrzenią mającą własność Heinego-Borela, gdy każdy domknięty i ograniczony jej podzbiór jest zwarty.

Każda przestrzeń lokalnie ograniczona ma przeliczalną bazę otoczeń. Przestrzeń X jest natomiast normowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest lokalnie wypukła i lokalnie ograniczona. Przestrzeń X ma skończony wymiar wtedy i tylko wtedy, gdy jest lokalnie zwarta. Jeśli lokalnie ograniczona przestrzeń X ma własność Heinego-Borela, to ma skończony wymiar.

Przykład

Produkt dowolnej rodziny przestrzeni liniowo-topologicznych jest nadal przestrzenią liniowo-topologiczną.

Na przykład przestrzeń $X$ wszystkich funkcji rzeczywistych $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ może być utożsamiany z przestrzenią $\mathbb {R} ^{\mathbb {R} },$ wyposażoną w topologię Tichonowa. Topologię na $X$ nazywa się topologią zbieżności punktowej (zob. zbieżność punktowa ciągu funkcji). Przestrzeń ta nie jest metryzowalna, a więc i nie normowalna.

Bibliografia

• Walter Rudin: Analiza funkcjonalna. Warszawa: PWN, 2001, s. 19–24.