Otwórz menu główne

Przestrzeń liniowo-topologiczna

Każdy punkt przestrzeni liniowo-topologicznej daje się przedstawić jako pewne przesunięcie zera. Przesunięcie jest homeomorfizmem, więc badanie własności punktów przestrzeni liniowo-topologicznych sprowadza się do badania otoczeń zera.

Przestrzeń liniowo-topologicznaprzestrzeń liniowa z określoną w niej topologią, dla której działania dodawania wektorów i mnożenia przez skalarciągłe. O topologii dodatkowo zakłada się, że każdy punkt tej przestrzeni jest zbiorem domkniętym, innymi słowy przestrzeń spełnia pierwszy aksjomat oddzielania.

Można udowodnić, że każda przestrzeń liniowo-topologiczna jest przestrzenią Hausdorffa, a nawet jest przestrzenią regularną. Grupa addytywna przestrzeni liniowo-topologicznej jest grupą topologiczną. Każda przestrzeń unormowana (a więc np. dowolna przestrzeń Banacha czy Hilberta) jest przestrzenią liniowo-topologiczną.

Przestrzenie liniowo-topologiczne są głównym obiektem badań analizy funkcjonalnej. Najczęściej rozważane są przestrzenie liniowo-topologiczne będące przestrzeniami funkcyjnymi.

DefinicjaEdytuj

Niech   będzie przestrzenią liniową nad ciałem   liczb rzeczywistych bądź zespolonych i niech   będzie topologią w zbiorze  

Przestrzeń   nazywa się przestrzenią liniowo-topologiczną, gdy   jest T1-przestrzenią oraz dodawanie   i mnożenie przez skalar   są ciągłe (w sensie odpowiednich topologii produktowych).

WłasnościEdytuj

Dla każdego punktu   i każdego skalara   odwzorowania:   i  homeomorfizmami przestrzeni   na przestrzeń   Zasadne jest więc badanie pewnych własności przestrzeni liniowo-topologicznych tylko w odniesieniu do otoczeń zera, gdyż analogiczne wyniki przenoszą się w naturalny sposób przez homeomorfizmy na inne punkty. Domknięcie podprzestrzeni liniowej przestrzeni liniowo-topologicznej jest nadal jej podprzestrzenią. Dowodzi się także, że dowolne rozłączne domknięte i zwarte podzbiory przestrzeni   dają się oddzielać zbiorami otwartymi.

Zbiory ograniczoneEdytuj

Nie każda przestrzeń liniowo-topologiczna jest metryzowalna, więc istnieje potrzeba wprowadzenia ogólniejszej definicji zbioru ograniczonego. Zbiór   nazywa się ograniczonym, gdy dla każdego otoczenia zera   istnieje   że  

Można wykazać, że jeśli   jest jednocześnie przestrzenią unormowaną, to definicja ta jest równoważna klasycznej definicji zbioru ograniczonego. Nie jest na ogół prawdą, że jeśli   jest jednocześnie przestrzenią metryczną, to powyższa definicja jest równoważna klasycznej definicji zbioru ograniczonego, nie musi być to prawda nawet wtedy, gdy metryka   na   jest niezmiennicza, tzn. spełnia warunek   dla  

Charakteryzacja zbiorów ograniczonychEdytuj

Równoważnie, zbiór   jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego otoczenia zera   istnieje takie   że dla każdego   zbiór   zawiera się w zbiorze  

Ograniczony podzbiór przestrzeni liniowo-topologicznej można także scharakteryzować w sposób równoważny, nieco bliższy intuicji:
Zbiór   jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy

 

dla każdego ciągu   elementów tego zbioru i każdego ciągu   elementów ciała   zbieżnego do zera.

Zbiory zbalansowaneEdytuj

Zbiór   nazywa się zbalansowanym, gdy dla każdego   takiego, że   zbiór  

Domknięcie zbioru zbalansowanego jest zbiorem zbalansowanym. Wnętrze zbioru zbalansowanego jest zbiorem zbalansowanym, o ile zawiera ono zero. Dodatkowo, każde otoczenie zera zawiera zbalansowane otoczenie zera, a każde wypukłe otoczenie zera zawiera otoczenie będące jednocześnie zbiorem wypukłym i zbalansowanym.

Klasy przestrzeni liniowo-topologicznychEdytuj

W literaturze matematycznej, często spotyka się następujące nazewnictwo związane z przestrzeniami liniowo-topologicznymi. Mówi się, że przestrzeń liniowo-topologiczna (X, τ) jest:

Każda przestrzeń lokalnie ograniczona ma przeliczalną bazę otoczeń[2]. Przestrzeń X jest natomiast normowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest lokalnie wypukła i lokalnie ograniczona. Przestrzeń X ma skończony wymiar wtedy i tylko wtedy, gdy jest lokalnie zwarta. Jeśli lokalnie ograniczona przestrzeń X ma własność Heinego-Borela, to ma skończony wymiar.

PrzykładEdytuj

Produkt dowolnej rodziny przestrzeni liniowo-topologicznych jest nadal przestrzenią liniowo-topologiczną.

Na przykład przestrzeń   wszystkich funkcji rzeczywistych   może być utożsamiany z przestrzenią   wyposażoną w topologię Tichonowa. Topologię na   nazywa się topologią zbieżności punktowej (zob. zbieżność punktowa ciągu funkcji). Przestrzeń ta nie jest metryzowalna, a więc i nie normowalna.

Ciągi Cauchy’egoEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. a b Niektórzy autorzy pomijają założenie lokalnej wypukłości w definicji przestrzeni Frécheta – inni, zdefiniowaną tu przestrzeń Frécheta, nazywają F-przestrzenią.
  2. Zob. Pierwszy aksjomat przeliczalności.

BibliografiaEdytuj

  • Walter Rudin: Analiza funkcjonalna. Warszawa: PWN, 2001, s. 19–24.