Otwórz menu główne

Przestrzeń topologiczna ośrodkowaprzestrzeń topologiczna zawierająca taki podzbiór, który jest przeliczalny i gęsty. Podzbiór ten nazywany jest ośrodkiem.

Ten sam zbiór może tworzyć przestrzeń ośrodkową lub nie – zależy to od doboru topologii Np. zbiór liczb rzeczywistych

Podstawowe własnościEdytuj

  1. Przestrzeń topologiczna o bazie przeliczalnej, tzn. przestrzeń spełniająca drugi aksjomat przeliczalności, jest ośrodkowa. Z drugiej strony prosta Sorgenfreya jest przykładem przestrzeni topologicznej ośrodkowej, która nie ma przeliczalnej bazy.
  2. Przestrzeń metryzowalna jest ośrodkowa wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń posiada bazę przeliczalną.
  3. Podprzestrzeń przestrzeni metrycznej ośrodkowej jest ośrodkowa. (Założenie metryzowalności jest istotne – produkt dwóch prostych Sorgenfreya jest przestrzenią ośrodkową posiadającą podprzestrzeń dyskretną mocy continuum, a więc nieośrodkową.)
  4. Przestrzeń zwarta metryczna jest ośrodkowa.
  5. Iloczyn kartezjański maksymalnie   wielu przestrzeni ośrodkowych jest ośrodkowy.
  6. Obrazem ciągłym przestrzeni ośrodkowej jest przestrzeń ośrodkowa.
  7. Ośrodkowa przestrzeń Hausdorffa ma moc nie większą niż   gdzie   to continuum. Fakt ten nie jest prawdziwy dla przestrzeni spełniających aksjomat   Istotnie niech   będzie dowolnym zbiorem nieskończonym, na którym rozważamy topologię składającą się ze zbiorów będących dopełnieniami zbiorów skończonych, tzn.   jest skończony   Wówczas   jest przestrzenią   w której ośrodkiem jest dowolny zbiór przeliczalny nieskończony. To pokazuje, że istnieją ośrodkowe przestrzenie   dowolnej mocy.

Zobacz teżEdytuj