Otwórz menu główne

Spis treści

Przestrzeń probabilistyczna (trójka probabilistyczna) – struktura umożliwiająca opis procesu losowego (tj. procesu, którego wynik jest losowy) poprzez określenie przestrzeni zdarzeń elementarnych i określenie na jej podzbiorach funkcji prawdopodobieństwa spełniającej odpowiednie aksjomaty.

Powszechnie dziś przyjmowana aksjomatyka prawdopodobieństwa (zwana aksjomatami Kołmogorowa) została podana w 1933 roku przez Andrieja Kołmogorowa i pozwoliła ująć teorię prawdopodobieństwa w postaci nowoczesnej teorii aksjomatycznej.

DefinicjeEdytuj

Konstrukcja przestrzeni probabilistycznej   przebiega w trzech etapach:

  1. ustalenie niepustego zbioru   zwanego przestrzenią zdarzeń elementarnych,
  2. określenie na nim σ-ciała   zwanego przestrzenią zdarzeń losowych,
  3. określenie na   unormowanej miary  miary probabilistycznej (prawdopodobieństwa).

Definicja prawdopodobieństwaEdytuj

Niech   będzie σ-ciałem określonym na danym zbiorze   Elementy σ-ciała nazywa się zdarzeniami losowymi.

Funkcję   o wartościach rzeczywistych nazywa się miarą probabilistyczną (prawdopodobieństwem), jeżeli spełnione są warunki:

  • nieujemności (tj. prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia jest nieujemne):
      dla dowolnego zdarzenia  
  • unormowania do jedności (tj. prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego wynosi 1):
     
  • przeliczalnej addytywności (dla przeliczalnej rodziny zbiorów parami rozłącznych):
     

przy czym   gdy  

Warunki pierwszy i trzeci gwarantują, iż funkcja   jest miarą, podczas gdy drugi czyni z niej miarę probabilistyczną.

Definicja przestrzeni probabilistycznejEdytuj

Układ   nazywa się przestrzenią probabilistyczną.

Własności prawdopodobieństwaEdytuj

Zobacz też: miara – własności.

Niech  

Wprost z aksjomatów Kołmogorowa wynikają następujące własności:

  • prawdopodobieństwo jest miarą skończoną, tj. prawdopodobieństwa są określone liczbami skończonymi,
  • prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego jest zerowe:
     
  • skończona addytywność (dla skończonej rodziny zbiorów rozłącznych):
        dla   przy czym sumowanie dotyczy skończonej liczby zbiorów,
  • prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego:
      przy czym   jest zdarzeniem przeciwnym do  
  • ograniczenie górne prawdopodobieństwa:
     
  • monotoniczność:
      dla  
  • prawdopodobieństwo alternatywy dwóch zdarzeń (zob. zasada włączeń i wyłączeń):
     

Definicje prawdopodobieństwaEdytuj

Definicja klasyczna (dla zbiorów skończonych)Edytuj

  jest zbiorem skończonym, to zwykle przyjmuje się, że   jest rodziną wszystkich podzbiorów zbioru   a prawdopodobieństwo   dane jest wzorem

  dla każdego zbioru  

gdzie   oznacza liczbę elementów zbioru   Tak zdefiniowane prawdopodobieństwo na tzw. klasyczna definicja prawdopodobieństwa[1].

Definicja geometryczna (dla zbiorów nieskończonych)Edytuj

Niech dany będzie zbiór   oraz zadana będzie miara   na tym zbiorze tak, że miara zbioru   jest skończona.

Wtedy zbiór   może pełnić rolę przestrzeni zdarzeń elementarnych, zaś określone na tym zbiorze σ-ciało   podzbiorów mierzalnych stanowi zbiór możliwych zdarzeń elementarnych.

Definicja: Prawdopodobieństwem zdarzenia   jest iloraz miary   podzbioru   przez miarę   przestrzeni   tj.

  dla każdego zbioru  

Np.

  •   jest przedziałem jednostkowym
     
  •   jest σ-ciałem podzbiorów przedziału   które są mierzalne w sensie Lebesgue’a, tj.
     
  •   jest miarą Lebesgue’a   określoną na   tj.
     

Mówimy wtedy, że przestrzeń probabilistyczna   realizuje tzw. geometryczną definicję prawdopodobieństwa.

Przykłady innych miar prawdopodobieństwaEdytuj

1) Niech   będzie pewną przestrzenią probabilistyczną (np. jedną z powyższych), zaś   niech będzie zmienną losową. Jeżeli   jest rozkładem prawdopodobieństwa (tzn. miarą obrazową)   tj.

  dla dowolnego     oznacza σ-ciało podzbiorów borelowskich na  

to   jest miarą probabilistyczną, wobec czego   również jest przestrzenią probabilistyczną.

2) Do ważnych przykładów miar probabilistycznych można zaliczyć miarę Dieudonnégo, miarę Diraca i standardową miarę Gaussa.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Niech   oraz   jest zbiorem wszystkich podzbiorów zbioru   niech wszystkie zdarzenia elementarne mają równe prawdopodobieństwa, tj.   dla   (są to „założenia” definicji klasycznej). Na podstawie II i III aksjomatu prawdopodobieństwa zachodzi ciąg równości
     
    skąd   Analogicznie jak w przypadku zbioru   dowodzi się, że   o ile   stąd wynika już, że   czyli  

BibliografiaEdytuj

  • W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, tom 1, Wydawnictwo Naukowe PWN, s. 16.