Przestrzeń przeliczalnie zwarta

Przestrzeń przeliczalnie zwartaprzestrzeń topologiczna analizowana w topologii ogólnej, będąca uogólnieniem przestrzeni zwartej.

Pojęcie to zdefiniował w 1906 francuski matematyk Maurice Fréchet[1].

DefinicjaEdytuj

Przestrzeń topologiczna jest przestrzenią przeliczalnie zwartą, jeśli z dowolnego przeliczalnego pokrycia otwartego tej przestrzeni można wybrać podpokrycie skończone.

Niektórzy autorzy[2] wymagają dodatkowo, aby rozważana przestrzeń była T2.

PrzykładyEdytuj

  • Każda przestrzeń zwarta jest (oczywiście) przestrzenią przeliczalnie zwartą.
  • Niech zbiór   wszystkich przeliczalnych liczb porządkowych będzie wyposażony w topologię generowaną przez przedziały   (dla  ) i zbiór jednopunktowy   Wówczas otrzymujemy przeliczalnie zwartą przestrzeń Hausdorffa, która nie jest zwarta.
  • Niech   będzie uzwarceniem Čecha-Stone’a przestrzeni liczb naturalnych   i niech   Wówczas   (z topologią podprzestrzeni) jest przeliczalnie zwartą przestrzenią Hausdorffa która nie jest zwarta.

WłasnościEdytuj

  • Każda domknięta podprzestrzeń przestrzeni przeliczalnie zwartej jest przeliczalnie zwarta.
  • Każda przeliczalnie zwarta przestrzeń Lindelöfa jest zwarta.
  • Jeśli   jest przestrzenią przeliczalnie zwartą i   jest funkcją ciągła, to obraz   funkcji   jest ograniczonym zbiorem domkniętym (a zatem funkcja   osiąga swoje kresy).
  • Ciągły obraz przestrzeni przeliczalnie zwartej jest przestrzenią przeliczalnie zwartą.
  • Jeśli   jest przestrzenią przeliczalnie zwartą i   jest przestrzenią zwartą, to   (z topologią Tichonowa) jest przestrzenią przeliczalnie zwartą.
  • Produkt dwóch przestrzeni przeliczalnie zwartych nie musi być przeliczalnie zwarty.
  • Przypuśćmy, że   jest przestrzenią Hausdorffa. Wówczas następujące warunki są równoważne:
(a)   jest przestrzenią przeliczalnie zwartą.
(b) Każda przeliczalna rodzina domkniętych podzbiorów   z własnością skończonych przekrojów ma niepusty przekrój.
(c) Każdy zstępujący ciąg   niepustych domkniętych podzbiorów   ma niepusty przekrój.
(d) Każda lokalnie skończona rodzina podzbiorów   jest skończona.
(e) Każdy nieskończony podzbiór   ma punkt skupienia.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Maurice Fréchet, Sur quelques points du calcul fonctionnel, „Rend. del Circ. Mat. di Palermo”, 22 (1906), s. 1–74.
  2. Ryszard Engelking, General Topology, Helderman, Berlin, 1989, s. 202, ​ISBN 3-88538-006-4​.