Przestrzeń regularna

Przestrzeń regularna i przestrzeń to terminy w topologii odnoszące się do tej samej lub bardzo pokrewnych własności oddzielania.

DefinicjeEdytuj

Powiemy że w przestrzeni topologicznej   punkty mogą być oddzielane od zbiorów domkniętych przez zbiory otwarte jeśli

dla każdego zbioru domkniętego   i dowolnego punktu   można znaleźć rozłączne zbiory otwarte   takie że   i  

 

Czasami w sytuacji jak przedstawiona na rysunku powyżej mówi się, że punkt   i zbiór domknięty   są rozdzielone przez otoczenia otwarte  .

Przestrzeń topologiczna   jest przestrzenią regularną wtedy i tylko wtedy, gdy   jest przestrzenią T1 w której punkty mogą być oddzielane od zbiorów domkniętych przez zbiory otwarte.

Dyskusja nazewnictwaEdytuj

Istnieją pewne niekonsekwencje w użyciu terminów przestrzeń regularna i przestrzeń   w literaturze. Na przykład Kuratowski w swojej monografii[1] definiuje

  • przestrzeń regularną jako przestrzeń topologiczną w której punkty mogą być oddzielane od zbiorów domkniętych przez zbiory otwarte, oraz
  • przestrzeń   jako przestrzeń regularną która jest także przestrzenią T1.

Z drugiej strony Engelking definiuje[2]

  • bycie przestrzenią   i bycie przestrzenią regularną jako tę samą własność (pokrywającą się z naszym znaczeniem przestrzeni regularnej).

Z powodu tych i podobnych rozbieżności, czytelnik literatury topologicznej powinien zawsze upewnić się co do znaczenia terminów stosowanych w danym artykule czy też książce. Wydaje się jednak że terminologia stosowana przez Engelkinga jest najbardziej popularna i my także będziemy się jej trzymać.

PrzykładyEdytuj

  • Większość naturalnych przykładów przestrzeni topologicznych jest   W szczególności przykładami takich przestrzeni są: przestrzeń liczb rzeczywistych z naturalną topologią, przestrzenie euklidesowe i ogólniej przestrzenie metryczne.
  • Każda przestrzeń Tichonowa jest przestrzenią regularną, ale istnieją przestrzenie regularne które nie są   Na przykład rozważmy podzbiór   płaszczyzny z kartezjańskim układem współrzędnych. Na zbiorze   wprowadzamy topologię   przez określenie bazy otoczeń   w każdym punkcie  
    • jeśli   to  
    • jeśli   to   składa się ze wszystkich zbiorów postaci   gdzie   jest zbiorem skończonym,
    •   gdzie  
Wtedy   jest przestrzenią regularną, ale nie jest przestrzenią Tichonowa.
  • Istnieją przestrzenie   które nie są   Rozważmy na przykład zbiór   z topologią   otrzymaną przez rozszerzenie naturalnej topologii na   o zbiór   Wtedy   jest przestrzenią Hausdorffa, która nie jest regularna.

WłasnościEdytuj

  • Przestrzeń topologiczna   spełniająca warunek   jest przestrzenią regularną wtedy i tylko wtedy, gdy
dla każdego punktu   i jego otoczenia otwartego   (tak więc  ) istnieje otoczenie   punktu   którego domknięcie jest zawarte w   (tzn.  ).
  • Każda regularna przestrzeń topologiczna   która jest przeliczalna lub spełnia drugi aksjomat przeliczalności jest także przestrzenią normalną.
  • Podzbiór przestrzeni   traktowany jako przestrzeń topologiczna jest znów przestrzenią   Własność być przestrzenią   jest więc własnością dziedziczną.
  • Iloczyn kartezjański (z topologią Tichonowa) przestrzeni   jest przestrzenią  

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Kazimierz Kuratowski, Topology, Volume I, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1966, s. 52.
  2. Ryszard Engelking, General Topology, Helderman, Berlin 1989, s. 38, ISBN 3-88538-006-4.