Otwórz menu główne

Przestrzeń sprzężona (analiza funkcjonalna)

Przestrzeń sprzężona (także dualna lub dwoista) – przestrzeń wszystkich ciągłych funkcjonałów liniowych określonych na danej przestrzeni unormowanej lub, nieco ogólniej, przestrzeni liniowo-topologicznej. Przestrzeń sprzężoną do przestrzeni oznacza się często lub Parę nazywa się parą dualną. Współczesna terminologia pochodzi od Bourbakiego[1]. W przeszłości były też używane nazwy: polarer Raum (niem., dosł. przestrzeń polarna/biegunowa) – Hans Hahn[2], transponierter Raum (niem., dosł. przestrzeń transponowana) / espace conjugué (fr., dosł. przestrzeń dołączona) – Juliusz Schauder[3], adjoint space (ang., dosł. przestrzeń dołączona) – Leonidas Alaoglu[4].

W kontekście analizy funkcjonalnej dla odróżnienia od przestrzeni sprzężonej algebraicznie, w której nie zakłada się ciągłości funkcjonałów, mówi się czasami o przestrzeni sprzężonej topologicznie. W skrajnych przypadkach przestrzeń sprzężona algebraicznie może mieć bogatą strukturę[a], podczas gdy sprzężona topologicznie może być trywialna. W klasie przestrzeni skończenie wymiarowych oba pojęcia pokrywają się.

Wyniki ogólnej teorii przestrzeni sprzężonych znajdują zastosowanie w wielu dziedzinach matematyki, np. w równaniach różniczkowych i całkowych, czy teorii aproksymacji. Przykładowo teoria dystrybucji zrodzona z potrzeb fizyki, zbudowana jest w oparciu o funkcjonały liniowe i ciągłe na pewnej przestrzeni liniowo-topologicznej (tzw. przestrzeni funkcji próbnych).

Definicja formalnaEdytuj

Niech   będzie przestrzenią liniowo-topologiczną nad ciałem   liczb rzeczywistych lub zespolonych. Zbiór   wszystkich funkcjonałów liniowych i ciągłych

 

nazywa się przestrzenią sprzężoną do  

UwagiEdytuj

  • Przestrzeń sprzężona jest przestrzenią liniową z działaniami określonymi punktowo, to znaczy jeśli   zaś   jest skalarem, to
     
     
dla wszystkich  
  • W przypadku, gdy nie zakłada się o   nic ponad bycie przestrzenią liniowo-topologiczną, jej przestrzeń sprzężona może być trywialna, tzn. może być złożona tylko z odwzorowania tożsamościowo równego zeru. Przykładem może być przestrzeń   dla  [5]. Innym przykładem mogą być przestrzenie Hardy’ego   dla  [6].
  • Postać przestrzeni sprzężonej do danej przestrzeni liniowo-topologicznej jest ściśle związana z ilością zbiorów wypukłych w samej przestrzeni. Następujące fakty (w tym pewien wniosek z twierdzenia Hahna-Banacha) wiążą   z wypukłymi podzbiorami  
    • Funkcjonały Minkowskiegopodliniowe (podaddytywne i dodatnio jednorodne). Funkcjonały zbalansowanych zbiorów Minkowskego są półnormami[7].
    • Wniosek z twierdzenia Hahna-Banacha: Jeżeli   jest rzeczywistą lub zespoloną przestrzenią liniową, a   półnormą na tej przestrzeni, to dla każdego punktu   istnieje taki funkcjonał liniowy   na przestrzeni   że   i
      dla każdego elementu   przestrzeni  
  • Zbalansowanym zbiorom wypukłym odpowiadają funkcjonały liniowe. Oznacza to w szczególności, że przestrzenie liniowo-topologiczne lokalnie wypukłe (a więc i przestrzenie unormowane) mają nietrywialne przestrzenie sprzężone.
  • Zwyczajowo funkcjonały traktuje się jako punkty przestrzeni sprzężonej, co znajduje odzwierciedlenie ich zapisie: analogicznie do   pisze się często   Dodatkowo, ze względu na ich liniowość, pomija się zwykle nawiasy przy argumentach, zatem zamiast   bądź   pisze się po prostu   lub   W dalszej części artykułu stosowane będą oznaczenia „z gwiazdką”.

Przestrzeń sprzężona do przestrzeni unormowanejEdytuj

W dalszej części artykułu X oznaczać będzie nietrywialną przestrzeń unormowaną nad ciałem   liczb rzeczywistych lub zespolonych. W przestrzeni X* można w naturalny sposób wprowadzić normę: jest nią funkcjonał

 

O ile nie prowadzi to do nieporozumień, normę w przestrzeni X* często oznacza się tym samym symbolem, co normę w X. W przeciwnym przypadku przy jej symbolu umieszcza się w indeksie dolnym oznaczenie przestrzeni, w której rozpatrywana jest norma, np.  

  dla  
  • Jeżeli przestrzeń X* jest ośrodkowa, to X też taka jest. Twierdzenie odwrotne jest fałszywe, mianowicie przestrzenią sprzężoną do (ośrodkowej) przestrzeni   jest przestrzeń   która nie jest ośrodkowa.

Topologie w przestrzeni sprzężonejEdytuj

Jeśli   jest topologią w przestrzeni liniowo-topologicznej   to symbolem   oznacza się słabą topologię w   to znaczy najsłabszą topologię, względem której wszystkie odwzorowania z   są ciągłe.

W przestrzeni   można rozważać również topologię *-słabą, to znaczy najsłabszą topologię, względem której każde z odwzorowań

 

postaci

 

jest ciągłe.   z topologią *-słabą jest przestrzenią lokalnie wypukłą.

Podsumowując, jeżeli   jest przestrzenią unormowaną, to w przestrzeni   można wprowadzić co najmniej trzy różne topologie:

  • mocną topologię   czyli topologię wyznaczoną przez normę w  
  • słabą topologię  
  • *-słabą topologię  

Zachodzi między nimi następujący związek:

 

przy czym

 

wtedy i tylko wtedy, gdy   jest przestrzenią refleksywną (czyli gdy   jest przestrzenią refleksywną). Równość ta jest konsekwencją jednego z fundamentalnych twierdzeń analizy funkcjonalnej – tzw. twierdzenia Banacha-Alaoglu. Równość topologii *-słabej i mocnej zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy   jest skończenie wymiarowa.

  • Niech   będzie przestrzenią Banacha. Podzbiór przestrzeni   jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy jest *-słabo ograniczony.
  • Jeśli   jest przestrzenią Banacha, to *-słabo zwarte podzbiory   są ograniczone.
  • Jeśli   jest przestrzenią nieskończenie wymiarową, to każdy niepusty *-słabo otwarty podzbiór   jest nieograniczony. Co więcej, każde *-słabe (otwarte) otoczenie zera zawiera nieskończenie wymiarową podprzestrzeń liniową.
  • Topologia *-słaba jest metryzowalna wtedy i tylko wtedy, gdy   jest skończenie wymiarowa.

Ograniczona topologia *-słabaEdytuj

Istnieje jeszcze jeden, w pewien sposób naturalny, rodzaj topologii wprowadzanej w przestrzeni   – tzw. ograniczona topologia *-słaba zdefiniowana w roku 1950 przez Jeana Dieudonné[8].

Niech dla każdego   oraz dla każdego ciągu   punktów przestrzeni   zbieżnego (w normie) do zera będzie dany zbiór

 

Rodzina zbiorów tej postaci tworzy bazę pewnej topologii w przestrzeni   którą nazywa się ograniczoną topologią *-słabą. Przestrzeń   z tą topologią jest przestrzenią lokalnie wypukłą. Jeżeli symbol   oznaczać będzie ograniczoną topologię *-słabą, to między wspomnianymi wcześniej topologiami zachodzi następujący związek:

 

Ograniczona topologia *-słaba oraz topologia *-słaba pokrywają się (w sensie topologii podprzestrzeni) na ograniczonych podzbiorach   Własność ta uzasadnia nazwę tego pojęcia. Natychmiastowym wnioskiem z tej obserwacji jest fakt, iż jeśli   jest ograniczonym ciągiem punktów   to jest on zbieżny w sensie ograniczonej topologii *-słabej do pewnego punktu   tej przestrzeni wtedy i tylko wtedy, gdy jest *-słabo zbieżny do  

Mimo iż   z topologią normy jest przestrzenią Banacha, to jednak poniższe twierdzenie dość dobrze ilustruje związek zupełności przestrzeni   z topologią *-słabą jej przestrzeni sprzężonej:

Jeśli   jest przestrzenią Banacha, to topologie: *-słaba i ograniczona *-słaba pokrywają się, to znaczy
 

Prawdziwe, jest też twierdzenie odwrotne, które można sformułować nieco inaczej:

Jeśli   jest przestrzenią unormowaną, która nie jest przestrzenią Banacha, to
 

Twierdzenie Krejna-SzmuljanaEdytuj

Przy okazji omawiania (ograniczonej) *-słabej topologii w przestrzeni sprzężonej wartym odnotowania jest twierdzenie Krejna-Szmuljana (nazywane czasem twierdzeniem Banacha-Krejna-Szmuljana) udowodnione w 1940 przez Marka Krejna i Witolda Lwowicza Šmuliana[9].

Niech X będzie przestrzenią Banacha oraz   będzie kulą jednostkową w X*. Jeśli C jest wypukłym podzbiorem X*, to jest on *-słabo domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego t >0 zbiór

 

jest *-słabo domknięty.

Druga przestrzeń sprzeżonaEdytuj

Osobny artykuł: przestrzeń refleksywna.

Niech X będzie przestrzenią unormowaną. Przestrzeń X** jest przestrzenią Banacha niezależnie od tego czy X jest przestrzenią zupełną czy nie (zob. twierdzenie Banacha-Steinhausa), więc jako taka ma swoją przestrzeń sprzeżoną X** (analogicznie definiuje się trzecią przestrzeń sprzężoną X*** czy n-tą X(n)). Jeżeli B i B* oznaczają domknięte kule jednostkowe przestrzeni, odpowiednio, X i X*, to

 

przy czym druga z powyższych równości zachodzi na mocy twierdzenia o wydobywaniu normy (wniosku z twierdzenia Hahna-Banacha). Istnieje kanoniczne włożenie

 

dane wzorem

 

Izometryczność zanurzenia kanonicznegoEdytuj

Dla wszystkich funkcjonałów f z X* i wszystkich elementów x z przestrzeni X zachodzi nierówność

 

więc odwzorowanie κX jest izometrią, gdyż dla każdego elementu x przestrzeni X spełniona jest równość:

 

Odwzorowanie κX nie musi być suriektywne. Przestrzenie Banacha dla których κX jest suriekcją nazywane są przestrzeniami refleksywnymi. Klasyczne twierdzenie Goldstine’a[10] mówi, że obraz kuli jednostkowej poprzez odwzorowanie κX jest gęstym podzbiorem kuli jednostkowej w X** w tzw. X*-topologii, tzn. topologii *-słabej w przestrzeni X**.

Przestrzenie Banacha o wspólnej przestrzeni sprzężonejEdytuj

Niezomorficzne przestrzenie Banacha mogą mieć izomorficzne (a nawet izometryczne) przestrzenie sprzężone. Dla przykładu, dla każdej pary różnych liczb porządkowych   przestrzenie Banacha funkcji ciągłych

 

nie są izomorficzne (gdyż, na przykład, mają różny indeks Szlenka, który jest niezmiennikiem izomorficznym), jednak ich przestrzeń sprzężona jest izometryczna z przestrzenią ℓ1. Istnieją dziedzicznie nierozkładalne przestrzenie Banacha E o przestrzeni sprzężonej izometrycznej z ℓ1[11].

Istnieją także pary (E, F) przestrzeni Banacha, w których jedna jest ośrodkowa, a druga nieośrodkowa (nawet o gęstości continuum), których przestrzenie sprzężone są izometrycznie izomorficzne. Na przykład:

  •  
  •  

gdzie   oznacza przestrzeń skonstruowaną przez R.C. Jamesa[12].

Reprezentacje elementówEdytuj

W przypadku wielu konkretnych przestrzeni, takich jak:

można opisać postać elementów ich przestrzeni sprzężonych i dokonać pewnych wygodnych utożsamień. Wiele z twierdzeń reprezentacyjnych tego typu nosi nazwisko Frigyesa Riesza.

Przestrzenie HilbertaEdytuj

Niech   będzie przestrzenią Hilberta. Dla każdego   istnieje taki element   że

  dla każdego  

Wynika stąd, że każda rzeczywista/zespolona przestrzeń Hilberta   jest liniowo/antyliniowo izometrycznie izomorficzna z   Wynik ten ma zasadnicze znaczenie dla teorii przestrzeni Hilberta, a także znajduje zastosowanie, na przykład w mechanice kwantowej.

Przestrzenie funkcji ciągłychEdytuj

Istnieje wiele wariantów twierdzenia Riesza związanych z reprezentacją funkcjonałów liniowych i ciągłych na przestrzeniach funkcji ciągłych. Jednym z ogólniejszych przypadków jest twierdzenie reprezentacyjne dla przestrzeni funkcji ciągłych znikających w nieskończoności. Mówi się, że funkcja

 

gdzie   jest przestrzenią lokalnie zwartą, znika w nieskończoności, gdy dla dowolnego   istnieje taki zbiór zwarty   że

  dla  

Przestrzeń funkcji ciągłych na przestrzeni lokalnie zwartej   znikających w nieskończoności tworzy przestrzeń Banacha, którą oznacza się symbolem  

Gdy   jest przestrzenią zwartą, to każda określona na niej funkcja zespolona znika w nieskończoności. Z tej przyczyny często używa się, w tym przypadku, symbolu   zamiast  

Twierdzenie RieszaEdytuj

Niech   będzie lokalnie zwartą przestrzenią Hausdorffa. Dla każdego   istnieje dokładnie jedna przeliczalnie addytywna regularna zespolona miara borelowska   taka, że

 

dla każdego   Ponadto

 

gdzie   oznacza wahanie całkowite miary   Przez regularną miarę zespoloną rozumie się miarę zespoloną, której wahanie całkowite jest miarą regularną (w klasycznym sensie). Więcej na temat twierdzenia Riesza można znaleźć w pracy Williama Arvesona, Notes on measure and integration in locally compact spaces[13].

Wspomnianie wyżej twierdzenie Riesza-Markowa sformułowane jest w najogólniejszej i bardzo abstrakcyjnej postaci. W roku 1909[14][15] Riesz udowodnił to twierdzenie dla przedziałów domkniętych na prostej, tzn. gdy   (wykazał on, że funkcjom ciągłym odpowiadają – w sposób niejednoznaczny – funkcje o ograniczonym wahaniu, które można wykorzystać do sformułowania tezy twierdzenia. Całka pojawiająca się w tezie była całką Stieltjesa względem właśnie takiej funkcji). Przypadek, gdy   został udowodniony w roku 1913 przez Johanna Radona[16].

Stefan Banach udowodnił to twierdzenie dla zwartych przestrzeni metrycznych w roku 1937[17], a rok później Andriej Markow dla przestrzeni normalnych[18]. Kolejno w latach 1940 i 1941 dowody tego twierdzenia w przypadku przestrzeni całkowicie regularnych i przestrzeni zwartych podali A. D. Aleksandrow[19] i Shizuo Kakutani[20].

Do innych twierdzeń reprezentacyjnych tego typu należy, na przykład, twierdzenie Riesza-Skorochoda.

Przestrzenie c i c0Edytuj

Niech   i   oznaczają, odpowiednio, przestrzenie ciągów zbieżnych i ciągów zbieżnych do zera (z normą supremum). Wówczas przestrzenie   i   są izometrycznie izomorficzne z przestrzenią   tj. przestrzenią ciągów sumowalnych. Mówią o tym poniższe twierdzenia Riesza dla przestrzeni   i  

Twierdzenie Riesza dla przestrzeni c0Edytuj

Jeśli   to istnieje dokładnie jeden ciąg   taki, że

 

dla każdego   Z drugiej strony, odwzorowanie   określone powyższym wzorem jest funkcjonałem liniowym i ciągłym.

Twierdzenie Riesza dla przestrzeni cEdytuj

Jeśli   to istnieje dokładnie jeden ciąg   taki, że

 

dla każdego   gdzie   jest granicą ciągu   Na odwrót,   określone powyższym wzorem jest funkcjonałem liniowym ciągłym. Biorąc pod uwagę powyższe dwa twierdzenia wygodnie jest dokonać utożsamienia

 

Przestrzenie LpEdytuj

Zobacz też: przestrzeń Lp.

Niech   będzie σ-ciałem podzbiorów pewnego niepustego zbioru   oraz niech   będzie miarą σ-skończoną określoną na   Ponadto niech   będzie ustaloną liczbą z przedziału   Niech

 

oznacza przestrzeń zespolonych funkcji  -mierzalnych, całkowalnych z p-tą potęgą. Jeżeli   oraz   jest miarą liczącą, to

 

skąd sformułowane niżej twierdzenie Riesza obejmuje także przypadek przestrzeni   szeregów sumowalnych w p-tej potędze.

Twierdzenie RieszaEdytuj

Jeśli   to istnieje dokładnie jedna  -mierzalna funkcja   taka, że

 

dla każdego   Przy czym, gdy

  •   to   oraz   gdzie  
  •   to   oraz  

Wnioskiem z twierdzenia Riesza jest fakt, że przestrzeń sprzężona do   jest izometrycznie izomorficzna z   gdzie   (przyjmując ewentualnie umowę, że   – zob. wykładniki sprzężone). W związku wygodnie stosować utożsamienie, że

 

Wynik ten został zauważony i udowodniony po raz pierwszy przez Riesza w roku 1909[21] w przypadku, gdy   jest przedziałem domkniętym na prostej z miarą Lebesgue’a oraz   Przypadek dla   udowodnił, w roku 1919, Hugo Steinhaus[22].

Przestrzeń sprzężona do przestrzeni ciągów ograniczonychEdytuj

Jeżeli   tzn.   jest ciągiem ograniczonym, to jego zbiór wartości jest zawarty w pewnej kuli domkniętej   Wówczas ciąg   można utożsamiać z funkcją

 

Skoro   jest przestrzenią dyskretną, a   przestrzenią zwartą (por. twierdzenie Heinego-Borela), to   jest funkcją ciągłą. Jeżeli   jest uzwarceniem Čecha-Stone’a przestrzeni   to istnieje dokładnie jedno ciągłe przedłużenie   funkcji   na   (postać   nie zależy od wyboru kuli  ). Innymi słowy, każdemu elementowi przestrzeni   odpowiada pewien element przestrzeni   Odwzorowanie to jest wzajemnie jednoznaczne, ponieważ każda funkcja ciągła na przestrzeni zwartej   jest ograniczona (zob. twierdzenie Weierstrassa o osiąganiu kresów), a więc jeśli   to również   jest ograniczona, czyli

 

Co więcej, odwzorowanie to jest izometrią. Utożsamiając

 

można zastosować twierdzenie Riesza dla przestrzeni funkcji ciągłych, z którego wynika, że przestrzeń   jest izometrycznie izomorficzna z przestrzenią regularnych, zespolonych miar borelowskich na  

W przypadku przestrzeni   można uogólnić powyższą metodę szukania opisu   zastępując uzwarcenie Čecha-Stone’a przestrzeni   przestrzenią Stone’a   algebry miary   to znaczy przestrzeni Stone’a ilorazowej algebry Boole’a

 

gdzie   jest ideałem podzbiorów  -miary zero zbioru   Wówczas   można utożsamiać z przestrzenią regularnych, zespolonych miar borelowskich na  

Przestrzenie SobolewaEdytuj

Osobny artykuł: przestrzeń Sobolewa.

Przestrzeń sprzężona do przestrzeni Sobolewa   dla   jest izometrycznie izomorficzna z podprzestrzenią przestrzeni dystrybucji na   o pewnych własnościach (podprzestrzeń ta jest wyposażona w normę związaną z normą w przestrzeni Sobolewa – przestrzeń dystrybucji nie jest przestrzenią normowalną).

Niech   będzie otwartym podzbiorem przestrzeni   oraz   Dodatkowo niech   oznacza liczbę wszystkich wielowskaźników o długości (sumie) nie większej od   tzn.

 

oraz   czyli niech   będzie produktem   egzemplarzy przestrzeni   Przestrzeń ta jest przestrzenią Banacha z normą

 

Przestrzeń   jest izometrycznie izomorficzna z podprzestrzenią   dystrybucji   na   takich, że

 

dla pewnego   i   jest wykładnikiem sprzężonym do   Ponadto

 

gdzie kres brany jest po wszystkich   dla których   można przedstawić w powyższej postaci.

Istnieje jeszcze jeden sposób charakteryzacji przestrzeni   dla   Mianowicie, przestrzeń   można utożsamiać z uzupełnieniem przestrzeni   wyposażonej w normę

 

tzn.

 

gdzie q jest wykładnikiem sprzężonym do p.

Refleksywność a własność Radona-Nikodýma przestrzeni sprzężonejEdytuj

Twierdzenie Phillipsa mówi, że każda przestrzeń refleksywna ma własność Radona-Nikodýma. Istnieje ścisła zależność między refleksywnością przestrzeni sprzężonej   (a więc w konsekwencji przestrzeni  ) a posiadaniem przez nią własności Radona-Nikodýma. Zależność tę ilustruje poniższa tabela:

  jest refleksywna jeśli:   ma własność Radona-Nikodýma jeśli:
  jest ściśle wypukła
  jest gładka (ang. smooth)   jest ściśle wypukła.
  jest słabo lokalnie jednostajnie wypukła   jest gładka
  jest silnie gładka (ang. very smooth)   jest słabo lokalnie jednostajnie wypukła[23]
  jest jednostajnie wypukła   jest silnie gładka

gdzie przestrzeń   nazywana jest

  • gładką, gdy dla każdego takiego elementu   przestrzeni   że   istnieje dokładnie jeden taki element   przestrzeni   że   oraz  
  • silnie gładką, gdy jest ona gładka oraz odwzorowanie   takie jak w powyższej definicji jest ciągłe w sensie słabej topologii w  

UwagiEdytuj

  1. Każda przestrzeń liniowa ma bazę (jest to równoważne aksjomatowi wyboru). Twierdzenie o przekształceniu liniowym zadanym na bazie mówi, że jeśli dana jest ustalona baza przestrzeni oraz jakkolwiek określona na niej funkcja o wartościach skalarnych, to można ją przedłużyć w sposób jednoznaczny do funkcjonału liniowego.

PrzypisyEdytuj

  1. Nicolas Bourbaki. Sur les espaces de Banach. „Comptes Rendus de l’Académie des Sciences”. 206, s. 1701–1704, 1938. Paryż (fr.). 
  2. Hans Hahn. Über lineare Gleichungssysteme in linearen Räumen. „Journal für die reine und angewandte Mathematik”. 157, s. 214–229, 1927 (niem.). 
  3. Juliusz Schauder. Über lineare, vollstetige Funktionaloperationen. „Studia Mathematica”. 2, s. 183–196, 1930. Warszawa: Polskie Towarzystwo Matematyczne (niem.). 
  4. Leonidas Alaoglu. Weak topologies of normed linear spaces. „Annals of Mathematics”. 41, s. 252–267, 1940. Princeton (ang.). 
  5. Joel H. Shapiro, Examples of proper, closed, weakly dense subspaces in nonlocally convex ''F''-spaces, „Israel Journal of Mathematics”, 7, Hebrew University Magnes Press, 1969, s. 369–380 [dostęp 2009-07-14] [zarchiwizowane z adresu 2010-06-15] (ang.).
  6. Nigel J. Kalton, Joel H. Shapiro, An ''F''-space with trivial dual and nontrivial compact endomorphisms, „Israel Journal of Mathematics”, 20, Hebrew University Magnes Press, 1975, s. 282–291 [dostęp 2009-07-14] [zarchiwizowane z adresu 2010-06-15] (ang.).
  7. Hermann Minkowski. Allgemeine Lehrsätze über die konvexe Polyeder. „Nachrichten der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-physikalische Klasse”, s. 198–219, 1897. Göttingen (niem.). 
  8. J. Dieudonne: Natural Homomorphisms in Banach Space. Proc. of the. Amer. Math. Soc., vol. 1. No. 1 (1950).
  9. Mark Krein, Witold Lwowicz Šmulian. On regularly convex sets in the space conjugate to a Banach space. „Annals of Mathematics”. 41, s. 556–583, 1940. Princeton (ang.). [dostęp 12 lipca 2009]. 
  10. Herman Goldstine: Weakly complete Banach spaces, Duke Math. J. 4 (1938), 125–131.
  11. S. A. Argyros, R. G. Haydon, A hereditarily indecomposable  -space that solves the scalar-plus-compact problem. Acta Mathematica 206 (2011), 1–54.
  12. R.C. James, A separable somewhat reflexive Banach space with nonsepa-rable dual, Bull. Amer. Math. Soc. 80 (1974), 738-743.
  13. William Arveson: NOTES ON MEASURE AND INTEGRATION IN LOCALLY COMPACT SPACES (ang.). Department of Mathematics, University of California, Berkeley, USA, 25 marca 1996. [dostęp 11 lipca 2009].
  14. Frigyes Riesz: Sur les opérations fonctionnelles linéaires, C.R. Acad. Sci. Paris 149, 974–977.
  15. Frigyes Riesz: Sur certains systémes singuliers d’équations intégrales, Ann. Sci. Ècole Norm. Sup. (3) 28, 33–62.
  16. Johann Radon: Theorie und Anwendungen der Theorie der absolut additiven Mengenfunktionen, Sitzungsber. Kaiserl. (Österreich.) Akad. Wiss., Math.-Nat. Kl., Abteilung IIa, 122, 1295–1438.
  17. Stefan Banach: The Lebesgue integral in abstract spaces. W: Stanisław Saks: Theory of the Integral. Wyd. 2. Warszawa: 1937, s. 320–330.
  18. Andriej Markow: On mean values and exterior densities, Mat. Sbornik 4, 165–190.
  19. A. D. Alexandroff: Additive set-functions in abstract spaces, Mat. Sbornik 8, 307–348; 9, 563–628; 13, 169–238.
  20. Shizuo Kakutani: Concrete representation of abstract (L)-spaces and the mean ergodic theorem, Ann. of Math. 42, 523–537.
  21. Frigyes Riesz: Untersuchungen über Systeme integrierbarer Funktionen, Math. Ann. 69, 449–497.
  22. Hugo Steinhaus: Additive und stetige Funktionaloperationen, Math. Z. 5, 186–221.
  23. J. Diestel, B. Faires, On vector measures, Transactions of the American Mathematical Society 198 (1974), 253-271.

BibliografiaEdytuj