Otwórz menu główne
Przestrzeń styczna 2-wymiarowa (czyli płaszczyzna) do 2-wymiarowej rozmaitości (powierzchni) w punkcie oraz wektor styczny do krzywej przechodzącej przez punkt

Przestrzeń styczna – to przestrzeń liniowa utworzona z wektorów zaczepionych w ustalonym punkcie przestrzeni przy czym:

  1. Przestrzeń w ogólności może być dowolną rozmaitością topologiczną.
  2. Wymiar przestrzeni stycznej jest równy wymiarowi rozmaitości
  3. Każdy element przestrzeni stycznej – wektor styczny do w punkcie – jest styczny do jakiejś krzywej gładkiej rozmaitości, przechodzącej przez punkt
  4. Przestrzeń styczną do w punkcie oznacza się lub

Przestrzenie styczne do rozmaitości w różnych jej punktach są różnymi przestrzeniami.

Wektory z przestrzeni stycznej tworzą zbiór możliwych wektorów prędkości jakie może mieć ciało w położeniu poruszając się po rozmaitości. Po przesunięciu się ciała do innego punktu prędkość ciała będzie dana przez inny wektor – taki, który należy do przestrzeni stycznej tego punktu (nie pokazano tego na rysunku).

Spis treści

Przestrzeń styczna do 2-wymiarowej powierzchniEdytuj

 
Przestrzeń styczna (płaszczyzna styczna) w punkcie   na sferze.

Wszystkie krzywe przechodzące przez dany punkt   leżący na 2-wymiarowej powierzchni   (np. powierzchni sfery czy elipsoidy itp.) mają wektor styczny, zaczepiony w tym punkcie. Suma dwóch wektorów stycznych jest nadal wektorem stycznym do jakiejś krzywej na tej powierzchni, przechodzącej przez punkt   To samo dotyczy mnożenia wektorów stycznych przez skalar.

Wszystkie wektory styczne do krzywych na powierzchni rozpinają więc w punkcie   2-wymiarową przestrzeń styczną – płaszczyznę styczną w punkcie   do powierzchni  

Płaszczyzna styczna w punkcie   stanowi więc przybliżenie płaskie (liniowe w 2 wymiarach) powierzchni zakrzywionej   przybliżenie to jest tym lepsze, im bliżej punktu   znajdują się punkty rozmaitości.

Przestrzeń styczna do 3-wymiarowej przestrzeni euklidesowejEdytuj

W 3-wymiarowej przestrzeni euklidesowej   wektor zaczepiony w pewnym punkcie jest określony przez punkt zaczepienia oraz 3 współrzędne. Wektory zaczepione w różnych punktach uważa się za odrębne, nawet jeśli mają te same współrzędne. Wektory zaczepione w tym samym punkcie   tworzą 3-wymiarową przestrzeń euklidesową, gdyż spośród wszystkich takich wektorów można wybrać tylko 3 liniowo niezależne. Wektory te tworzą bazę przestrzeni stycznej do   w punkcie   i oznacza symbolem  

Wektory należą do tej samej przestrzeni stycznej, jeżeli mają ten sam punkt zaczepienia. Wektory zaczepione w różnych punktach przestrzeni   należą do różnych przestrzeni stycznych.

Przestrzeń styczna do 3-wymiarowej rozmaitościEdytuj

Krzywe w 3-wymiarowej, dowolnej rozmaitości   przechodzące przez ustalony punkt   mają wektory do nich styczne w tym punkcie. Wektory te rozpinają 3-wymiarową przestrzeń euklidesową, styczną do przestrzeni   w punkcie   która jest aproksymacją płaską rozmaitości w ogólnym przypadku dowolnie zakrzywionej.

Przestrzeń styczna – pojęcie wewnętrzne rozmaitościEdytuj

W opisie przestrzeni stycznej do dowolnej rozmaitości nie jest konieczne odwoływanie się do przestrzeni euklidesowej wyższego wymiaru, w której ta rozmaitość jest zanurzona.

Np. Sfera jest rozmaitością różniczkową 2-wymiarową. Powierzchnię sfery w otoczeniu punktu   można sparametryzować za pomocą współrzędnych sferycznych   i   Mówi się, że za pomocą tych współrzędnych określona jest mapa ze sfery na przestrzeń   przy czym:

  • każdemu punktowi   na sferze odpowiada jednoznacznie punkt o współrzędnych   w przestrzeni  
  • każdej krzywej   na sferze odpowiada jednoznacznie krzywa w   złożona z punktów o współrzędnych   odpowiadających punktom   krzywej
  • wektorowi stycznemu do krzywej na sferze odpowiada wektor styczny do krzywej w przestrzeni  

Tak określona przestrzeń styczna jest przestrzenią wektorową wymiaru 2, czyli tego samego wymiaru co sfera, do której jest styczna, gdyż:

  • działaniom dodawania wektorów na sferze i mnożenia ich przez skalar (czyli działania określone w każdej przestrzeni wektorowej) odpowiadają analogiczne działania na odpowiadających im wektorach w przestrzeni  
  • przestrzeń styczna nie zależy od wyboru współrzędnych krzywoliniowych i będzie identyczna dla każdej innej mapy

Zatem wektory styczne do sfery w punkcie   tworzą 2-wymiarową przestrzeń styczną – płaszczyznę   Pokazaliśmy to nie odwołując się do pojęcia zanurzenia sfery w przestrzeni 3-wymiarowej.

Przestrzeń styczna do n-wymiarowej rozmaitościEdytuj

Rozmaitość w najogólniejszym przypadku jest przestrzenią topologiczna, która ma lokalnie własności przestrzeni euklidesowej. Rozmaitość ma wymiar n, jeżeli przez każdy punkt   rozmaitości przechodzą krzywe, których wektory styczne tworzą n-wymiarowe przestrzenie styczne (przestrzenie euklidesowe).

Definicja formalna przestrzeni stycznejEdytuj

(1) Niech   będzie mapą otoczenia   punktu   rozmaitości różniczkowej   klasy   wymiaru  

Krzywą klasy   na rozmaitości   przechodzącą przez punkt   nazywa się odwzorowanie   klasy   dowolnego przedziału   w   tj.

 

takie że  

(2) Na zbiorze   wszystkich krzywych klasy   na rozmaitości   i przechodzących przez punkt   określamy relację równoważności   taką, że dwie krzywe   i   są w relacji o ile wektory styczne w zerze do krzywych   oraz   (obie krzywe leżą w  ) są równe, czyli:

 

Można sprawdzić, że taka definicja relacji nie zależy od wyboru początkowej mapy  

(3) Przestrzeń styczną do rozmaitości różniczkowej   klasy   w punkcie   oznaczaną   definiuje się jako zbiór klas abstrakcji relacji  

 [1]

Odwzorowanie   przyporządkowujące krzywej   przechodzącej przez   jej wektor styczny w zerze:

 

jest stałe na klasach abstrakcji relacji   i indukuje bijekcję   daną wzorem:   gdzie   oznacza klasę abstrakcji krzywej   względem relacji     Zatem   ma strukturę przestrzeni liniowej wymiaru   przeniesioną przez bijekcję   tzn. działania w przestrzeni stycznej   definiujemy następująco[2]:

  dla dowolnych  
  dla dowolnego   oraz dowolnego  

(4) Niezależność od wyboru mapy

Definicja przestrzeni stycznej nie zależy od wyboru mapy początkowej   Wzięcie innej mapy nie zmienia równości wektorów stycznych do krzywych, czyli relacji  

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Wojciech Wojtyński: Grupy i algebry Liego. Warszawa: PWN, 1986, s. 73.
  2. W. Thirring, Fizyka matematyczna Tom 1. Klasyczne układy dynamiczne, Warszawa: PWN, 1985, s. 33.

BibliografiaEdytuj