Otwórz menu główne

Przestrzeń zwartaprzestrzeń topologiczna o tej własności, że z dowolnego jej pokrycia zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone (tj. pewna skończona liczba zbiorów pokrycia tworzy pokrycie)[1].

Zbiorem zwartym nazywa się podzbiór przestrzeni topologicznej, który traktowany jako podprzestrzeń (z topologią podprzestrzeni) jest przestrzenią zwartą.

W niektórych źródłach (np. Engelking 1989 ↓) w definicji zwartości dodatkowo wymaga się, aby przestrzeń zwarta była przestrzenią Hausdorffa, a przestrzenie zdefiniowane z pominięciem tego warunku nazywa się przestrzeniami quasi-zwartymi[2].

Idea zwartościEdytuj

Z punktu widzenia topologi przestrzenie zwarte mają pewne pożądane własności, np.

  1. funkcja ciągła rzeczywista określona na przestrzeni zwartej jest ograniczona i osiąga swoje kresy,
  2. funkcja ciągła rzeczywista lub zespolona na przestrzeni metrycznej zwartej jest jednostajnie ciągła,
  3. każda przestrzeń metryczna zwarta jest zupełna,
  4. w przestrzeni zwartej własność   spełniana lokalnie jest też spełniana globalnie, tzn. jeżeli jakiekolwiek zbiory otwarte   mają własność   to również ich suma   ma tę własność[potrzebny przypis].

Zwartość jest jednym z podstawowych pojęć topologicznych.

Przykłady zbiorów zwartych i niezwartychEdytuj

(1) Tw. 1. Przedział   nie jest zbiorem zwartym.

Dowód: Rodzina zbiorów otwartych
 
jest pokryciem tego przedziału (każdy punkt odcinka należy do któregoś ze zbiorów tej postaci), ale nie da się wybrać z niej skończonej liczby zbiorów, które pokryłyby cały przedział  

(2) Tw. 2. Przedział   nie jest zbiorem zwartym.

Dowód: Rodzina zbiorów otwartych
 
jest pokryciem zbioru   ale nie da się wybrać z niej skończonej liczby zbiorów, które pokryłyby  

(3) Tw. 3. Przedział   jest zwarty.

Dowód: Niech   będzie pokryciem odcinka   Zdefiniujmy zbiór
  i odcinek   można pokryć skończoną podrodziną rodziny  
Oczywiście   bo przedział   jest pokryty pewnym elementem rodziny   Zbiór   jest więc niepusty i ograniczony z góry. Ma więc kres górny    i    
Zauważmy, że   bo biorąc jakieś otoczenie   punktu   znajdziemy pewien przedział   a stąd   czyli  
Przypuśćmy, że   i niech   dla pewnego przedziału otwartego   istnieje wówczas przedział   Ponieważ   jest kresem górnym zbioru   więc w przedziale   istnieje punkt   Istnieje więc skończona podrodzina   pokrywająca przedział   A stąd przedział   jest pokryty przez skończoną rodzinę   Oznacza to, że   i   nie kresem górnym zbioru   Sprzeczność ta pokazuje, że  
Niech   dla pewnego zbioru otwartego   i rozważmy przedział   Podobnie jak wyżej,   jest kresem górnym zbioru   więc w przedziale   istnieje punkt   Istnieje więc skończona podrodzina   pokrywająca przedział   A stąd przedział   jest pokryty przez skończoną rodzinę   cnd.

WłasnościEdytuj

Tw. 4. Ciągły obraz przestrzeni zwartej jest zwarty.

Dowód: Niech   będzie przestrzenią zwartą, a   odwzorowaniem ciągłym. Udowodnimy, że obraz   jest zwarty. W tym celu weźmy dowolne otwarte pokrycie   zbioru   Wtedy   jest otwartym pokryciem   Istotnie, otwartość elementów rodziny   od razu wynika z ciągłości   Ponadto dla dowolnego   istnieje zbiór   taki że   Dlatego też   Na mocy zwartości   istnieje skończona rodzina zbiorów   będąca pokryciem   Zatem rodzina   jest otwartym, skończonym pokryciem   Oznacza to, że z dowolnego otwartego pokrycia   można wybrać skończone podpokrycie, co oznacza, że zbiór   jest zwarty, cnd.

Tw. 5. (Twierdzenie Weierstrassa)

Funkcja ciągła na przestrzeni zwartej o wartościach w   jest ograniczona i przyjmuje swoje kresy.

Dowód: Niech   będzie ciągłą funkcją na przestrzeni zwartej   Wówczas   jest zwarty jako ciągły obraz przestrzeni zwartej. Na mocy Tw. Heinego-Borela   jest domknięty i ograniczony. Ograniczoność   oznacza, że   jest ograniczona. Z definicji supremum i infimum, na mocy domkniętości   wynika że   oraz   Zatem   przyjmuje swoje kresy, cnd.

Tw. 6. (Twierdzenie Tichonowa)

(a) Iloczyn kartezjański przestrzeni zwartych (z topologią produktową) jest zwarty.

(b) Zwarty podzbiór przestrzeni Hausdorffa jest domknięty.

Dowód: Niech   będzie przestrzenią Hausdorffa, a   jej zwartym podzbiorem. Aby udowodnić, że   jest domknięty uzasadnimy, że   jest otwarty. Wystarczy zatem udowodnić, że dla dowolnego   istnieje otoczenie, które nie zawiera punktów ze zbioru  
Niech     Wówczas na mocy aksjomatu Hausdorffa istnieją otoczenie   punktu   oraz otoczenie   punktu   takie że  
Rodzina   stanowi otwarte pokrycie   Na mocy zwartości   istnieje skończone podpokrycie   Każdy zbiór   jest rozłączny z odpowiednim zbiorem   Zatem przekrój   jest rozłączny z każdym ze zbiorów   Więc   jest otoczeniem   które jest rozłączne z   Z dowolności   wynika, że zbiór   jest domknięty, cnd.

Tw. 7. Ciągła bijekcja zwartej przestrzeni   na przestrzeń Hausdorffa   jest homeomorfizmem.

Dowód: Wystarczy wykazać, że obrazami zbiorów domkniętych są zbiory domknięte. Niech   będzie domknięty i niech   będzie ciągłą bijekcją zwartej przestrzeni   w przestrzeń Hausdorffa   Wówczas   jest zwarty jako domknięty podzbiór przestrzeni zwartej. Stąd   jest zwarty jako ciągły obraz zbioru zwartego. Więc   jest domknięty jako zwarty podzbiór przestrzeni Hausdorffa, cnd.

Tw. 8. Każdy domknięty podzbiór przestrzeni zwartej jest zwarty.

Dowód: Niech   będzie domkniętym podzbiorem przestrzeni zwartej   Weźmy dowolne otwarte pokrycie   zbioru   Ponieważ   jest domknięty, to jego dopełnienie jest otwarte i razem z   stanowi otwarte pokrycie przestrzeni   Ponieważ przestrzeń   jest zwarta, więc z jej pokrycia   możemy wybrać skończone podpokrycie   przestrzeni   Ale   więc   jest zarazem pokryciem zbioru   Zatem   jest zwarty, cnd.

Tw. 9. Zwarta przestrzeń Hausdorffa jest normalna.

Zwartość w przestrzeniach metrycznychEdytuj

 
Przedział   nie jest zwarty, bo nie jest ograniczony. Przedział   nie jest zwarty, bo nie jest domknięty. Przedział   jest zwarty, bo jest domknięty i ograniczony.

Tw. 10. Niech   będzie przestrzenią metryczną. Następujące warunki są równoważne:

  • przestrzeń   jest zwarta,
  • każdy ciąg   w tej przestrzeni zawiera podciąg   zbieżny do punktu należącego do tej przestrzeni (tzn.   jest ciągowo zwarta),
  • z każdego przeliczalnego pokrycia można wybrać podpokrycie skończone, tzn.   jest przeliczalnie zwarta,
  • dla każdej funkcji ciągłej   obraz   jest ograniczony, tzn.   jest pseudozwarta.

Tw. 11. Zwarty podzbiór przestrzeni metrycznej jest ograniczony.

Dowód: Niech   będzie zwartym podzbiorem przestrzeni metrycznej  
Należy udowodnić, że  
Wykorzystamy fakt, że metryka   jest ciągła. Obcięcie   jest ciągłe. Na mocy tw. Weierstrassa funkcja   jest ograniczona. Zatem   Czyli   Wykazaliśmy, że zbiór   jest ograniczony, cnd.

(twierdzenie Heinego-Borela) Podzbiór przestrzeni euklidesowej jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest domknięty i ograniczony.

Tw. 12. Dowolna przestrzeń metryczna jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy z każdego ciągu można wybrać podciąg zbieżny.

PrzykładyEdytuj

Stosując powyższe twierdzenia, można łatwo stwierdzić, które poniższe przestrzenie są zwarte, a które nie:

  • zwarty jest odcinek   bo jest domknięty i ograniczony,
  • odcinek   nie jest zwarty, bo nie jest domknięty,
  • zwarta nie jest również cała prosta liczbowa   bo jest zbiorem nieograniczonym,
  • zwarty jest zbiór Cantora.

PseudozwartośćEdytuj

Przestrzeń topologiczną nazywamy pseudozwartą jeśli jest przestrzenią Tichonowa i każda ciągła funkcja o wartościach rzeczywistych jest ograniczona[3]. Każda przestrzeń zwarta jest pseudozwarta, jednak istnieją przestrzenie pseudozwarte, które nie są zwarte. Na przykład liczba porządkowa   z topologią porządkową jest pseudozwarta, ale nie jest zwarta.

Zwartość a ciągowa zwartośćEdytuj

Osobny artykuł: Przestrzeń ciągowo zwarta.

Przestrzeń topologiczną   nazywamy ciągowo zwartą jeśli każdy ciąg   w tej przestrzeni zawiera podciąg   zbieżny, tzn. istnieje element   taki, że każde otwarte otoczenie   punktu   zawiera wszystkie elementy ciągu   poza co najwyżej skończoną ich liczbą[4]. W klasie przestrzeni metryzowalnych pojęcia zwartości i ciągowej zwartości pokrywają się. Istnieją jednak przestrzenie zwarte, które nie są ciągowo zwarte oraz przestrzenie ciągowo zwarte, które nie są zwarte (na przykład, liczba porządkowa   z topologią porządkową).

Pojęcia pokrewneEdytuj

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

BibliografiaEdytuj