Przestrzenie T5 i T6

Przestrzeń i przestrzeń – terminy w topologii odnoszące się do jednych z najsilniejszych aksjomatów oddzielania.

DefinicjeEdytuj

Przestrzeń topologiczna   jest przestrzenią dziedzicznie normalną (albo całkowicie normalną albo  ) wtedy i tylko wtedy, gdy   jest przestrzenią T4 w której każda podprzestrzeń jest normalna.

Przestrzeń topologiczna   jest przestrzenią doskonale normalną (albo  ) wtedy i tylko wtedy, gdy   jest przestrzenią T4 w której każdy domknięty podzbiór jest przekrojem przeliczalnej rodziny zbiorów otwartych.

NazewnictwoEdytuj

Tak jak w przypadku przestrzeni regularnych, Tichonowa czy też normalnych, istnieją pewne niekonsekwencje w użyciu terminów przestrzeń dziedzicznie/całkowicie normalna i przestrzeń   oraz przestrzeń doskonale normalna i przestrzeń  . Źródłem różnic jest zakładanie (bądź nie) aksjomatu T1. W tym artykule obowiązuje terminologia ustalona w monografii Engelkinga[1] – zakładamy że rozważane przestrzenie są przestrzeniami  

Czytelnik literatury topologicznej powinien zawsze upewnić się co do znaczenia terminów stosowanych w przez autorów.

PrzykładyEdytuj

  • Następujące przestrzenie topologiczne są przestrzeniami doskonale normalnymi: przestrzeń liczb rzeczywistych z naturalną topologią, przestrzenie euklidesowe i ogólniej przestrzenie metryczne.
  • Każda regularna przestrzeń topologiczna   która jest przeliczalna lub spełnia drugi aksjomat przeliczalności jest także przestrzenią doskonale normalną.
  • Istnieją przestrzenie całkowicie normalne które nie są doskonale normalne. Rozważmy na przykład zbiór   wszystkich liczb rzeczywistych z topologią   zawierającą wszystkie zbiory   takie że   jest skończone lub   lub   Wtedy   jest przestrzenią   ale nie  
  • Istnieją przestrzenie T6, które nie są metryzowalne. Na przykład topologia na   wprowadzona przez bazę   nie jest metryzowalna ani nie spełnia drugiego aksjomatu przeliczalności.
  • Pod założeniem ZFC + „istnieje zbiór Łuzina na prostej” można podać przykład doskonale normalnej, dziedzicznie ośrodkowej rozmaitości, która nie jest metryzowalna[2]. Konstrukcja tego typu przestrzeni wymaga założenia aksjomatów spoza ZFC[3].

WłasnościEdytuj

  • Każda przestrzeń doskonale normalna jest całkowicie normalna.
  • Obraz przestrzeni doskonale normalnej przez (ciągłe) odwzorowanie domknięte jest przestrzenią doskonale normalną.
  • Podprzestrzeń przestrzeni doskonale normalnej jest doskonale normalna i tak samo dla przestrzeni dziedzicznie normalnych (czyli własności być przestrzenią doskonale normalną i być przestrzenią dziedzicznie normalnąwłasnościami dziedzicznymi).
  • Następujące Twierdzenie Wedenisowa jest często podawane jako uzasadnienie że własność   jest własnością oddzielania:
Przestrzeń T1   jest doskonale normalna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej pary rozłącznych domkniętych zbiorów   istnieje funkcja ciągła   taka, że   i  
  • Następujące twierdzenie jest często podawane jako uzasadnienie, że własność   jest własnością oddzielania:
Przestrzeń T1   jest dziedzicznie normalna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej pary zbiorów   takich że   istnieją zbiory otwarte   takie że     i  

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Ryszard Engelking, General Topology, Helderman, Berlin 1989, ​ISBN 3-88538-006-4​, s. 45, 68, 69.
  2. Z. Balogh, G. Gruenhage, Two more perfectly normal non-metrizable manifolds, Volume 151, Issues 1–3, 1 June 2005, s. 260–272. [1].
  3. Rudin M.E., The undecidability of the existence of a perfectly normal nonmetrizable manifold, Houston J. Math. 5 (1979), s. 249–252.