Przykłady przestrzeni liniowych

Ten artykuł zawiera pewne przykłady przestrzeni liniowych. W artykule „przestrzeń liniowa” znajdują się definicje używanych tutaj pojęć. Zobacz też: wymiar, baza.

Notacja. będzie oznaczać dowolne ciało takie jak liczby rzeczywiste lub liczby zespolone Zobacz też: lista symboli matematycznych.

Trywialna lub zerowa przestrzeń liniowaEdytuj

Najprostszy przykład przestrzeni liniowej jest trywialny:   Zawiera ona tylko wektor zerowy (zob. 3. aksjomat przestrzeni liniowej). Dodawanie wektorów i mnożenie przez skalar są trywialne. Bazą tej przestrzeni liniowej jest zbiór pusty, tak więc   jest 0-wymiarową przestrzenią liniową nad   Każda przestrzeń liniowa nad   zawiera podprzestrzeń z nią izomorficzną.

CiałoEdytuj

Kolejnym prostym przykładem jest samo ciało   Dodawanie wektorów jest po prostu dodawaniem w ciele, a mnożenie przez skalar – mnożeniem z ciała. Jedynka   służy jako baza, tak więc   jest 1-wymiarową przestrzenią liniową nad sobą.

Ciało jest raczej szczególną przestrzenią liniową; rzeczywiście jest najprostszym przykładem algebry przemiennej nad   Dodatkowo   ma tylko dwie podprzestrzenie:   oraz samo  

Przestrzeń współrzędnychEdytuj

Jest to prawdopodobnie najistotniejszy przykład przestrzeni liniowej. Dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej   przestrzeń wszystkich ciągów  -elementowych o wartościach z   stanowi  -wymiarową przestrzeń liniową nad   nazywaną czasami przestrzenią współrzędnych i oznaczaną   Element   zapisuje się

 

gdzie każdy   Działania na   zdefiniowane są wzorami:

 
 
 
 

Najczęstsze przypadki obejmują za ciało   liczby rzeczywiste dając w ten sposób przestrzeń współrzędnych rzeczywistych   lub liczby zespolone dając przestrzeń współrzędnych zespolonych  

Kwaterniony i oktawy Cayleya (oktoniony) są odpowiednio cztero- i ośmiowymiarowymi przestrzeniami liniowymi nad liczbami rzeczywistymi.

Przestrzeń liniowa   ma bazę kanoniczną:

 
 
 
 

gdzie   oznacza element neutralny mnożenia w  

Nieskończona przestrzeń współrzędnychEdytuj

Niech   oznacza przestrzeń ciągów nieskończonych elementów z   takich, że tylko skończenie wiele elementów jest różnych od zera. Oznacza to, że jeśli zapiszemy element   jako

 

to tylko skończenie wiele   jest niezerowych (czyli od pewnego momentu wszystkie współrzędne są zerem). Dodawanie i mnożenie przez skalar dane są tak jak w skończonej przestrzeni współrzędnych. Wymiar   jest przeliczalnie nieskończony. Baza kanoniczna składa się z wektorów   zawierających   na  -tej współrzędnej i zera wszędzie indziej. Ta przestrzeń liniowa jest koproduktem (lub sumą prostą) przeliczalnie wielu egzemplarzy przestrzeni liniowej  

Należy zauważyć tutaj rolę warunku skończoności. Można by rozważać dowolne ciągi elementów z   które również tworzą przestrzeń liniową z takimi samym działaniami, często oznaczaną   – zob. niżej. Jednakże wymiar takiej przestrzeni jest nieprzeliczalnie nieskończony i nie ma oczywistego wyboru bazy. Ponieważ wymiary się różnią,   nie jest izomorficzna z   w zamian jest to produkt przeliczalnie wielu egzemplarzy  

Warto zauważyć, że   jest (izomorficzna z) przestrzenią sprzężoną   ponieważ przekształcenie liniowe   z   w   jest jednoznacznie określone przez jego wartości   na elementach bazy   a te wartości mogą być dowolnie wybrane. Stąd widać, że przestrzeń liniowa nie musi być izomorficzna do swojej przestrzeni sprzężonej, jeśli jest ona nieskończeniewymiarowa, w przeciwieństwie do przypadku skończeniewymiarowego.

Iloczyn przestrzeni liniowychEdytuj

Rozpoczynając od   lub przeliczalnej rodziny przestrzeni liniowych nad tym samym ciałem, możemy określić iloczyn przestrzeni (przestrzeń produktową) jak wyżej.

MacierzeEdytuj

Niech   oznacza zbiór macierzy z elementami w   Wówczas   jest przestrzenią liniową nad   Dodawanie wektorów jest po prostu dodawaniem macierzy, a mnożenie przez skalar jest zdefiniowane naturalnie (jako mnożenie każdego elementu przez ten sam skalar). Rolę wektora zerowego pełni macierz zerowa. Wymiar   wynosi   Jednym z możliwych wyborów bazy są macierze z jednym elementem jednostkowym i pozostałych elementach równych zeru.

Przestrzenie liniowe wielomianówEdytuj

Pojedyncza zmiennaEdytuj

Zbiór wielomianów o współczynnikach w   jest przestrzenią liniową nad   oznaczaną   Dodawanie wektorów i mnożenie przez skalar są określone w oczywisty sposób. Jeżeli stopień wielomianów jest nieograniczony, to wymiar   jest przeliczalnie nieskończony. Jeżeli ograniczy się stopień wielomianów do ściśle mniej niż   otrzymamy przestrzeń liniową o wymiarze  

Jedną z możliwych baz dla   jest złożona z wielomianów   współrzędnymi wielomianu w tej bazie są jego współczynniki, a przekształcenie przesyłające wielomian na ciąg jego współczynników jest izomorfizmem liniowym z   w nieskończoną przestrzeń współrzędnych  

Wiele zmiennychEdytuj

Osobny artykuł: pierścień wielomianów.

Zbiór wielomianów wielu zmiennych o współczynnikach w   jest przestrzenią liniową nad   oznaczaną   gdzie   oznacza liczbę współrzędnych.

Przestrzenie liniowe ciagówEdytuj

Jak wspomniano wyżej, przestrzeń liniową (nad danym ciałem) tworzą wszystkie ciągi, które od pewnego momentu są zerowe (stałe). Tę przestrzeń można ugoólniać na ciągi:

  • sumowalne (suma ich wyrazów jest skończona), oznaczane przez  [potrzebny przypis]. Przykładem ciągu, który ma nieskończenie wiele wyrazów niezerowych, ale jest sumowalny, jest   – ciąg odwrotności kwadratów kolejnych liczb naturalnych. Innym znanym przykładem ciągu sumowalnego jest ciąg geometryczny   dla ilorazów mniejszych od jedności ( ). Jego sumą jest szereg geometryczny.
  • sumowalne z kwadratem ( ). Przykładem ciągu, który nie jest sumowalny, ale jest sumowalny z kwadratem, jest ciąg harmoniczny odwrotności kolejnych liczb naturalnych:   Jego suma (szereg harmoniczny) jest nieskończona.
  • sumowalne z modułem i dowolną potęgą (Przestrzeń Lp),
  • zbieżne do zera, oznaczane przez  [potrzebny przypis],
  • zbieżne, oznaczane przez  [potrzebny przypis],
  • ograniczone, oznaczane przez  [potrzebny przypis].

Oprócz tego w przestrzeni   ciągów sumowalnych można wyróżnić podprzestrzeń   ciągów z sumą równą zero[potrzebny przypis]. Przecina się ona z nieskończoną przestrzenią współrzędnych.

Przestrzenie funkcyjneEdytuj

Osobny artykuł: przestrzeń funkcyjna.

Niech   będzie dowolnym zbiorem, a   dowolną przestrzenią liniową nad   Przestrzeń wszystkich funkcji z   w   jest przestrzenią liniową nad   z działaniami dodawania funkcji i mnożenia funkcji przez skalar określonymi jak następująco – dla dowolnych funkcji   i dowolnego skalara  

 
 

gdzie działania po prawej stronie są określone w   Wektorem zerowym jest przez funkcja stała. Przestrzeń wszystkich funkcji z   w   jest zwykle oznaczana  

Jeżeli zbiór   jest skończony, a   skończeniewymiarowa, to   ma wymiar   w pozostałych przypadkach przestrzeń jest nieskończeniewymiarowa (nieprzeliczalnie, jeśli   jest nieskończony).

Wiele przestrzeni liniowych badanych w matematyce jest podprzestrzeniami pewnych przestrzeni funkcyjnych.

Uogólnione przestrzenie współrzędnychEdytuj

Niech   będzie dowolnym zbiorem. Rozważmy zbiór wszystkich funkcji z   w   które przyjmują wartość zero poza skończoną liczbą argumentów. Przestrzeń ta jest podprzestrzenią liniową  

Przestrzeń opisana wyżej jest zwykle oznaczana   i nazywana jest uogólnioną przestrzenią współrzędnych z następującego powodu. Jeżeli   jest zbiorem liczb od   do   to łatwo widać, że przestrzeń ta jest równoważna przestrzeni współrzędnych   Podobnie jeżeli   jest zbiorem liczb naturalnych   to przestrzeń ta jest po prostu  

Baza kanoniczna dla   jest zbiorem funkcji   określonych wzorem

 

Wymiar   jest więc równy mocy zbioru   W ten sposób możemy skonstruować przestrzeń liniową dowolnego wymiaru nad dowolnym ciałem. Co więcej, każda przestrzeń liniowa jest izomorficzna z jedną tej postaci. Każdy wybór bazy określa izomorfizm przez przesłanie bazy na bazę kanoniczną  

Uogólniona przestrzeń współrzędnych może być także rozumiana jako suma prosta   egzemplarzy   (czyli jednej dla każdego punktu z  ):

 

Warunek skończoności jest zawarty w definicji sumy prostej. Warto porównać to z iloczynem prostym   egzemplarzy   który dałby pełną przestrzeń funkcyjną  

Przekształcenia linioweEdytuj

Ważnym przykładem powstającym w kontekście samej algebry liniowej jest przestrzeń liniowa przekształceń liniowych. Niech   oznacza zbiór wszystkich przekształceń liniowych z   do   (obie z nich są przestrzeniami liniowymi nad  ). Wówczas Niech   jest podprzestrzenią   ponieważ jest ona zamknięta na dodawanie i mnożenie przez skalar.

Zauważmy, że   może być identyfikowane z przestrzenią macierzy   w naturalny sposób. Rzeczywiście, wybrawszy odpowiednie bazy w skończeniewymiarowych przestrzeniach   oraz   przestrzeń   może być także identyfikowana z   Ta identyfikacja zwykle zależy od wyboru bazy.

Funkcje ciągłeEdytuj

Jeżeli   jest pewną przestrzenią topologiczną, taką jak przedział jednostkowy   możemy rozważać przestrzeń wszystkich funkcji ciągłych z   w   Jest to podprzestrzeń liniowa   ponieważ suma dowolnych dwóch funkcji ciągłych jest ciągła, a również mnożenie przez skalar jest ciągłe.

Równania różniczkoweEdytuj

Podzbiór przestrzeni wszystkich funkcji z   składających się z (wystarczająco wiele razy różniczkowalnych) funkcji, które spełniają pewne równanie różniczkowe jest podprzestrzenią   o ile równanie jest liniowe. Jest to spowodowane faktem, iż różniczkowanie jest działaniem liniowym, czyli   gdzie apostrof oznacza operator różniczkowania.

Rozszerzenia ciałaEdytuj

Przypuśćmy, że   jest podciałem   (por. rozszerzenie ciała). Wówczas   może być uważane za przestrzeń liniową nad   przy ograniczeniu mnożenia skalarów do elementów z   (dodawanie wektorów jest zdefiniowane normalnie). Wymiar tej przestrzeni liniowej jest nazywany stopniem rozszerzenia. Na przykład liczby zespolone   tworzą dwuwymiarową przestrzeń liniową nad liczbami rzeczywistymi   Podobnie liczby rzeczywiste   tworzą (nieprzeliczalnie) nieskończeniewymiarową przestrzeń liniową nad liczbami wymiernymi  

Jeżeli   jest przestrzenią liniową nad   to może być uważana również za przestrzeń liniową nad   Wymiary są związane wzorem

 

Na przykład   uważana za przestrzeń liniową nad liczbami rzeczywistymi ma wymiar  

Skończeniewymiarowe przestrzenie linioweEdytuj

Abstrahując od trywialnego przypadku zerowymiarowej przestrzeni nad dowolnym ciałem, przestrzeń liniowa ma skończenie wiele elementów wtedy i tylko wtedy, gdy   jest ciałem skończonym i przestrzeń liniowa jest skończeniewymiarowa. Stąd mamy   jednoznaczne, skończone ciało o   elementach.   musi być tutaj potęgą liczby pierwszej (  – pierwsza). Wtedy dowolna  -wymiarowa przestrzeń liniowa nad   będzie mieć   elementów. Liczba elementów   również jest potęgą liczby pierwszej. Głównym przykładem takiej przestrzeni jest przestrzeń współrzędnych  

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj

  • H. Guściora, M. Sadowski, Repetytorium z algebry liniowej, PWN, Warszawa 1979.