Wykres funkcji z punktem przegięcia

Punkt przegięcia – punkt na wykresie funkcji, w którym zachodzi zmiana jej wypukłości, tj. funkcja wypukła na lewo od tego punktu staje się wklęsła na prawo od niego lub na odwrót. Pojęcie to może być też uogólnione na inne krzywe.

Definicja formalnaEdytuj

Ścisła wklęsłośćEdytuj

Funkcja   jest ściśle wklęsła na przedziale   wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła na przedziale   i:

 

lub (równoważna definicja):

 

Ścisła wypukłośćEdytuj

Podobnie funkcja jest ściśle wypukła na tym przedziale wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła na tym przedziale i:

 

lub (równoważna definicja):

 

Punkt przegięciaEdytuj

Funkcja ma punkt przegięcia w   wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje   dla którego jest ona ściśle wklęsła na przedziale   i ściśle wypukła na przedziale   lub odwrotnie – ściśle wypukła na   i ściśle wklęsła na  

Zwykle wymaga się dodatkowo ciągłości funkcji w punkcie   Niekiedy wymaga się też różniczkowalności w tym punkcie.

Warunki wystarczająceEdytuj

Jak wynika z powyższej definicji, istnienie pochodnej nie jest konieczne do zdefiniowania wklęsłości i wypukłości krzywej, a co za tym idzie punktu przegięcia. Jeśli jednak funkcja posiada określoną obustronną pochodną w pewnym otoczeniu punktu   wówczas warunkiem koniecznym i wystarczającym jest właściwe ekstremum lokalne pierwszej pochodnej w punkcie  

Warunkiem wystarczającym istnienia punktu przegięcia jest też istnienie drugiej pochodnej funkcji równej zeru w punkcie   oraz zmiana jej znaku w tym punkcie. Jeżeli funkcja ma zerową drugą pochodną w punkcie, ale jej znak nie zmienia się w tym punkcie, to funkcja ma w tym punkcie ekstremum lokalne.

Dla funkcji trzykrotnie różniczkowalnej warunkiem wystarczającym jest:  

PrzykładEdytuj

Przykładem funkcji posiadającej punkt przegięcia w punkcie, gdzie nie posiada określonej drugiej pochodnej, jest funkcja   W punkcie x=0 istnieje punkt przegięcia, bo pierwsza pochodna   ma swoje minimum – mimo że drugie pochodne lewostronna i prawostronna nie są sobie równe, więc obustronna druga pochodna nie istnieje.

WielomianyEdytuj

Wielomian  -tego stopnia   ma co najwyżej   punktów przegięcia.

Uogólnienie na krzyweEdytuj

Punkt przegięcia może też zostać uogólniony na krzywe nie będące wykresami funkcji. Najczęściej przyjmowane uogólnienie definiuje punkt przegięcia krzywej jako punkt, który rozdziela w swoim otoczeniu punkty krzywej o krzywiźnie dodatniej i ujemnej.

Promień krzywiznyEdytuj

W miarę zbliżania się do punktu przegięcia promień krzywizny wykresu funkcji dwukrotnie różniczkowalnej rośnie do nieskończoności. Mówimy skrótowo, że jest on w punkcie przegięcia nieskończony. Oznacza to, że w otoczeniu punktu przegięcia krzywa (w szczególności np. wykres funkcji) jest lepiej przybliżana linią prostą niż łukiem okręgu.

Zobacz teżEdytuj