Punkt przegięcia

pojęcie matematyczne

Punkt przegięcia – niejednoznaczne pojęcie matematyczne, definiowane inaczej – i nierównoważnie – w analizie oraz geometrii. W obu dyscyplinach występują różne konwencje znaczeń:

  • dla funkcji rzeczywistej jest to pewien punkt w jej dziedzinie lub na wykresie. Zachodzi w nim zmiana wypukłości, tj. po jednej stronie przegięcia funkcja jest wypukła, a po drugiej – wklęsła[1][2]. Ta definicja jest niejednoznaczna przez różne użycie nazw „wypukłość” i „wklęsłość”; oprócz tego bywa zawężana dodatkowymi warunkami na zachowanie funkcji w tym miejscu. Przy niektórych z tych zawężeń – oraz innych definicjach, nieodwołujących się do wypukłości – punkt przegięcia wykresu staje się szczególnym przypadkiem sensu geometrycznego:
  • dla ogólnych krzywych płaskich punkt przegięcia to taki, w którym istnieje styczna i „przechodzi” ona z jednej strony krzywej na drugą[3][4]. W sensie ścisłym i węższym[5]: w pewnym sąsiedztwie przegięcia krzywa zawiera się we wnętrzu kątów wierzchołkowych utworzonych przez styczną i normalną[6]. Można to też formalizować przez zmianę znaku krzywizny[7], choć wymaga to innych założeń o własnościach krzywej[potrzebny przypis].
Przykładowy wykres funkcji zawierającej punkt przegięcia (w); styczna w tym punkcie została zaznaczona na czerwono.

Oprócz tego znaczenia z pierwszej grupy mają swoje warunki wystarczające jak:

  • ekstremum pierwszej pochodnej,
  • zmiana znaku drugiej[8][9],
  • zmiana znaku pewnych wyrażeń z pierwszą lub drugą pochodną w przegięciu,
  • zerowanie się pochodnych kolejnych rzędów między pierwszym a pewnym rzędem nieparzystym, dla którego wartość pochodnej jest niezerowa[10][11]:
.

Kryteria te istnieją dzięki twierdzeniom o różniczkowalnych funkcjach wypukłych i wklęsłych. Przy pewnym zawężeniu pojęć te warunki wystarczające stają się równoważnymi; bywają wręcz używane jako definicje[10].

Pojęcie to wprowadził do matematyki prawdopodobnie Gilles de Roberval; posłużył się nim w 1636 roku, w liście do Pierre’a Fermata. O przegięciach pod innymi nazwami wspominali potem między innymi Gottfried Wilhelm Leibniz i Isaac Newton[12].

Przegięcia funkcji rzeczywistychEdytuj

 
Wykres funkcji trzeciego stopnia y = x3 (sześcianu), czasem nazywany parabolą sześcienną. Punktem przegięcia jest tu początek układu współrzędnych[13] (0,0), z obu perspektyw[a]: 1) dla argumentów ujemnych (x<0) funkcja jest ściśle wklęsła, a dla dodatnich (x>0) – ściśle wypukła; 2) styczną jest tu oś pozioma (Ox), normalną – oś pionowa (Oy), a cały wykres znajduje się w przeciwległych ćwiartkach układu (pierwszej i trzeciej).
 
Tangensoida – wykres funkcji tangens y = tg x. Jej miejsca zerowe to wielokrotności 90° lub pi (π) radianów: x = kπ. Punkty te są zarazem przegięciami[2]; prostych stycznych ani normalnych tu nie przedstawiono.
 
Wykres pierwiastka sześciennego y = 3x. To przykład funkcji, która ma punkt przegięcia (x0 = 0), ale druga pochodna (y″) się w nim nie zeruje i w dodatku nie istnieje. W tym miejscu nie ma nawet właściwej pierwszej pochodnej; dąży tam ona do nieskończoności: y′→+∞ przy x→0.
 
Wykres funkcji wymiernej y = 1/x – przykład hiperboli. Początek układu współrzędnych (0,0) rozdziela tu przedział ścisłej wklęsłości (x<0) od przedziału ścisłej wypukłości (x>0). Mimo to punkt x=0 zwykle nie jest uznawany za przegięcie – jako liczba spoza dziedziny tej funkcji[13].

Szeroka definicja przez wypukłośćEdytuj

Niech   będzie funkcją zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych:  , gdzie  . Wtedy mówi się, że   ma punkt przegięcia w   wtedy i tylko wtedy, gdy w pewnym otoczeniu punktu   jest po jednej z jego stron ściśle wypukła, a po drugiej – ściśle wklęsła[13]. Formalnie oznacza to, że istnieje liczba  , dla której funkcja  :

a) jest ściśle wklęsła na przedziale   i ściśle wypukła na przedziale  ;
b) odwrotnie – jest ona ściśle wypukła na   i ściśle wklęsła na  .

Wypukłość i wklęsłość są definiowane różnie – i nierównoważnie – przez różnych autorów. W ogólności funkcja  :

  • jest ściśle wklęsła na przedziale   wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła na przedziale   i:
 
lub (równoważna definicja[potrzebny przypis]):
 .
  • Podobnie funkcja jest ściśle wypukła na tym przedziale wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła na tym przedziale i:
 
lub (równoważna definicja):
 .

Inne definicjeEdytuj

 
Wśród funkcji nieróżniczkowalnych istnieją takie, które w punkcie nieróżniczkowalności mają styczną pionową (tu x=0). Takie funkcje mogą ją przecinać, nie zmieniając przy tym wypukłości – przez co punkty te nie są zaliczane do przegięć[5]. Wykresy takich funkcji nie spełniają też ścisłej geometrycznej definicji przegięcia, opartej na kątach wierzchołkowych między styczną a normalną.

Niektórzy matematycy definiują punkty przegięcia funkcji przez wypukłość i wklęsłość w sąsiedztwie, ale określone inaczej – za pomocą stycznych[14][1]. Wymaga to wzmocnienia założenia ciągłości o różniczkowalność[15]. Zdarza się też dodatkowy wymóg, by w tym sąsiedztwie przegięcia istniała także druga pochodna i to ciągła[16]; takie funkcje bywają nazywane klasą  .

Nierzadko zakłada się też dodatkowe własności funkcji   w samym punkcie   jak:

  • określoność w tym punkcie[13] (przyjmowanie w nim jakiejś wartości:  );
  • ciągłość[b]:  ;
  • istnienie w nim pochodnych jednostronnych ( ) spełniających pewne nierówności[2];
  • istnienie w nim stycznej[17], czyli spełnianie jednego z dwóch warunków[18]:
    • istnienie pochodnej właściwej lub niewłaściwej (tj. nieskończonej)[19]:  ;
    • istnienie jednostronnych pochodnych niewłaściwych:  ;
  • różniczkowalność[15] – istnienie pochodnej właściwej (tj. skończonej):  ;
  • istnienie drugiej pochodnej (podwójna różniczkowalność) i jej ciągłość[20][16]:  .

Czasem przegięcie funkcji jest definiowane bez wypukłości ani wklęsłości. Niektórzy odwołują się do własności związanych ze styczną w tym punkcie ( ):

  • nieformalnie przegięcie to punkt przecinania stycznej[20]. To znaczenie obejmuje też funkcje bez zmiany wypukłości, w dodatku z wykresem po jednej stronie prostej normalnej – wbrew ogólnej definicji przegięcia krzywej płaskiej. Tak się może dziać w wypadku stycznych pionowych[5].
  • Wykluczenie stycznych pionowych oznacza, że w przegięciu istnieje pochodna skończona ( ). Wtedy przebijanie stycznej to formalnie zmiana znaku funkcji  , gdzie   to funkcja opisująca styczną w punkcie  [19][c]. Ta definicja również bywa zawężana[d]. Wszystkie takie przegięcia są zgodne z definicją geometryczną (dla ogólnej krzywej płaskiej); mimo to mogą one nie zmieniać wypukłości funkcji, co opisano dalej.

Zdarza się jeszcze inna definicja – pozwalająca rozstrzygnąć, czy punkt jest przegięciem, za pomocą samych pochodnych w tym punkcie. Wymaga to co najmniej trzykrotnej różniczkowalności (istnienia  )[10].

Przykłady nierównoważnościEdytuj

Powyższe definicje nie są sobie równoważne – istnieją funkcje z punktami spełniającymi tylko niektóre z nich. Są przypadki zmiany wypukłości, w których[potrzebny przypis]:

  • druga pochodna jest nieciągła;
  • nie ma drugiej pochodnej – por. funkcja u(x) := x |x|. W punkcie x=0 istnieje przegięcie, bo pierwsza pochodna u′(x)=2|x| ma tam swoje minimum. Mimo to drugie pochodne jednostronne są tam różne (uu+), więc obustronna druga pochodna nie istnieje;
  • nie ma pierwszej pochodnej właściwej (skończonej) – por. pierwiastek kubiczny (sześcienny);
  • nie ma nawet niewłaściwej pierwszej pochodnej;
  • nie ma stycznej[21];
  • nie ma ciągłości;
  • nie ma wartości w tym punkcie; por. v(x) := 1/x.

Istnieją też funkcje z punktami spełniającymi „geometryczną” definicję przegięcia (przez styczną), ale bez zmiany wypukłości w tym punkcie[19][2]:

 

Ta funkcja jest różniczkowalna w zerze ( ), ale jej pochodna jest tam nieciągła i nawet nie ma granic jednostronnych[22]. Warunek ciągłości pochodnej ( ) nie usuwa jednak takich przypadków. Nie robi tego nawet postulat dwukrotnej różniczkowalności z ciągłą drugą pochodną ( ). Istnieją funkcje tej klasy, które również przecinają swoją styczną bez zmiany wypukłości w tym punkcie[23]:

 

Warunki konieczne i wystarczająceEdytuj

 
Wykres czwartej potęgi: y = x4. To przykład funkcji, która w pewnym punkcie (x=0) ma zerową drugą pochodną, ale nie ma tam przegięcia[20]. Druga pochodna (y″ = 12x2) nie zmienia tam znaku – po obu stronach jest dodatnia – a pierwsza pochodna (y′ = 4x3) nie ma tam ekstremum. Czwarta potęga jest ściśle wypukła w całej dziedzinie[2], a w zerze ma minimum.
 
Wykres wielomianu czwartego stopnia: y = x4x. To przykład funkcji, której druga pochodna (y″ = 12x2) zeruje się w punkcie niebędącym ani przegięciem, ani ekstremum[potrzebny przypis].

W przegięciach druga pochodna w ogólności nie musi istnieć, ale może przyjmować tylko zerową wartość (f″(x0) = 0)[3][4]. Ten warunek konieczny nie jest jednak warunkiem wystarczającym:

  • jeśli obie pochodne (pierwsza i druga) się zerują, to punkt może nie być przegięciem, lecz ekstremum[24] – por. y = x4;
  • jeśli druga pochodna się zeruje, a pierwsza nie, to punkt nie jest ekstremum, ale nie musi też być przegięciem; por. jedna z dalszych ilustracji.

Dla różnych klas funkcji można wskazać różne warunki wystarczające przegięcia:

  • Jeśli funkcja ma obustronną pochodną w pewnym otoczeniu punktu  , wówczas warunkiem wystarczającym jest właściwe ekstremum lokalne pierwszej pochodnej w punkcie  . Ten warunek nie jest w ogólności konieczny – w sąsiedztwie przegięcia pochodna może w ogóle nie istnieć[25]. Mimo to, tak jak napisano wyżej, czasem zakłada się różniczkowalność badanej funkcji w całym przedziale – wprost lub przez definiowanie wypukłości za pomocą stycznych.
  • Warunkiem wystarczającym istnienia punktu przegięcia jest też istnienie drugiej pochodnej funkcji równej zeru w punkcie   oraz zmiana jej znaku w tym punkcie[4].
  • Dla funkcji trzykrotnie różniczkowalnej warunkiem wystarczającym jest:  . W ogólności: jeśli w jakimś punkcie pierwsza nieznikająca (różna od zera) pochodna jest rzędu nieparzystego większego niż dwa, to jest tam przegięcie[26].

Rola przegięćEdytuj

Poszukiwanie przegięć to jeden z klasycznych elementów badania przebiegu zmienności funkcji rzeczywistych[13] (f:X→ℝ, X⊆ℝ). Punkty te mogą się pojawić w analizie pochodnych, począwszy od pierwszej – mogą się znaleźć wśród punktów krytycznych badanej funkcji (f). Przegięcia – tak jak lokalne ekstrema – mogą występować zarówno wśród:

  • punktów nieróżniczkowalności (braku pochodnej)[13]; przy czym taki punkt może być jednocześnie i ekstremum, i przegięciem[21];
  • punktów stacjonarnych, czyli miejsc zerowych pierwszej pochodnej (f′(xs) = 0). Takie punkty stacjonarne bez ekstremum w przypadku jednowymiarowym mogą należeć do przegięć. Bywają nazywane punktami siodłowymi[27], przy czym te ostatnie są też definiowane inaczej – geometrycznie, jako punkty zerowej krzywizny[28]. Wtedy punkty siodłowe nie są szczególnym przypadkiem różniczkowalnych przegięć, lecz ich uogólnieniem na wiele wymiarów.

W ogólności przegięcie wykresu nie ma ścisłego związku z pierwszą pochodną. Jeśli w takich punktach ona istnieje, to może mieć dowolny znak i być nieskończona (niewłaściwa), co ilustrują wykresy obok. Przegięcia są bliżej związane z dalszymi pochodnymi – przez różne warunki konieczne lub wystarczające, opisane wyżej.

Przegięcia wielomianówEdytuj

Wielomian n-tego stopnia (n⩾2) ma co najwyżej n−2 punktów przegięcia[potrzebny przypis]. Wynika to z połączenia trzech faktów:

  • podwójna różniczkowalność wielomianów, dająca też ciągłą drugą pochodną (klasa  ); przegięcia takich funkcji muszą spełniać warunek konieczny, jakim jest zerowanie się drugiej pochodnej ( );
  • wzór na pochodną wielomianu – dla n⩾1 pochodna zmniejsza stopień wielomianu o jeden. Przez to druga pochodna ma stopień niższy o dwa ( );
  • zasadnicze twierdzenie algebry mówi między innymi, że liczba pierwiastków rzeczywistych wielomianu rzeczywistego nie przekracza jego stopnia; tutaj liczba pierwiastków drugiej pochodnej nie przekracza n−2.

W szczególności funkcje kwadratowe – dla których n=2 – nie mają przegięć. Dotyczy to także wielomianów stopnia niższego niż dwa, czasem zwanych funkcjami liniowymi[potrzebny przypis].

Uogólnienie na inne krzywe płaskieEdytuj

Pojęcie punktu przegięcia może też zostać uogólnione na krzywe płaskie niebędące wykresami funkcji, zwłaszcza na krzywe z punktami regularnymi, tj. o unikalnej stycznej. Tak jak wspomniano, tutaj również występują różne konwencje:

  • nieformalnie – w punkcie przegięcia krzywa przechodzi z jednej strony stycznej na drugą[29];
  • inna ścisła definicja mówi o rozdzielaniu punktów o krzywiźnie dodatniej i ujemnej[7], co wymaga zerowania się krzywizny w tym punkcie[30]. Tak rozumiane przegięcie jest szczególnym, jednowymiarowym przypadkiem punktu siodłowego lub – przy innych definicjach – jego odpowiednikiem.

W miarę zbliżania się do punktu przegięcia promień krzywizny wykresu funkcji dwukrotnie różniczkowalnej rośnie do nieskończoności. Mówi się skrótowo, że jest on w punkcie przegięcia nieskończony. Oznacza to, że w otoczeniu punktu przegięcia krzywa (w szczególności np. wykres funkcji) jest lepiej przybliżana linią prostą niż łukiem okręgu[potrzebny przypis].

Zobacz teżEdytuj

UwagiEdytuj

  1. w analizie czasem przyjmuje się, że przegięciem jest tu współrzędna odcięta tego punktu, czyli argument x=0.
  2. Taką definicję sugeruje Fichtenholz 1999 ↓, s. 264–266. Pisze wprost, że w punkcie przegięcia może nie być stycznej, co oznacza brak wymogu pochodnej, nawet niewłaściwej. Zarazem definiuje przegięcie jako punkt nie w dziedzinie, ale na krzywej, a krzywa bywa definiowana jako ciągły obraz przedziału liczbowego.
  3.   to wielomian stopnia co najwyżej pierwszego, czasem zwany funkcją liniową.
  4. Różnica   może być zapisana inaczej. Jeśli  , to:
     ;
    por. Banach 1957 ↓, s. 175. Oprócz tego jeśli istnieje druga pochodna funkcji   i jest ciągła ( ), to twierdzenie Lagrange’a o wartości średniej pozwala to zapisać jako:
      dla pewnego  .
    Przegięcie, wypukłość i wklęsłość bywają definiowane właśnie przez zachowanie znaku tego wyrażenia; por. Leja 1963 ↓, s. 93.

PrzypisyEdytuj

  1. a b Zaporożec 1967 ↓, s. 160.
  2. a b c d e Krych 2010 ↓, s. 171
  3. a b punkt przegięcia, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2022-01-16].
  4. a b c Żakowski 1972 ↓, s. 236
  5. a b c d Fichtenholz 1999 ↓, s. 265.
  6. a b   Point of inflection (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, 6 czerwca 2020 [dostęp 2022-01-16].
  7. a b Eric W. Weisstein, Inflection Point, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research (ang.). [dostęp 2022-01-16]
  8.   Szymon Charzyński, Punkty przegięcia, kanał Khan Academy Po Polsku na YouTube, 5 maja 2014 [dostęp 2022-01-23].
  9. Wrzosek 2016 ↓, s. 148.
  10. a b c punkt, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2022-01-27].
  11. Krych 2010 ↓, s. 220.
  12.   Jeff Miller i Siegmund Probst, Inflection point [w:] Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (I) (ang.), MacTutor History of Mathematics archive, mathshistory.st-andrews.ac.uk [dostęp 2022-01-16].
  13. a b c d e f   Wypukłość. Badanie funkcji jednej zmiennej [w:] Analiza matematyczna 1, wazniak.mimuw.edu.pl, 3 października 2021 [dostęp 2022-01-23].
  14. Wrona 1965 ↓, s. 356.
  15. a b Leksiński, Nabiałek i Żakowski 1995 ↓, s. 94
  16. a b Leksińska i Leksiński 1978 ↓, s. 150
  17.   Jeff Miller, Ambiguously Defined Mathematical Terms at the High School Level (ang.), 30 września 2018, zarchiwizowane z adresu [dostęp 2022-01-26].
  18. Fichtenholz 1999 ↓, s. 181.
  19. a b c Strzelecki 2018 ↓, s. 142
  20. a b c Krysicki i Włodarski 1994 ↓, s. 187.
  21. a b Krych 2010 ↓, s. 172.
  22. Strzelecki 2018 ↓, s. 129.
  23. Fichtenholz 1999 ↓, s. 266.
  24. pochodna funkcji, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2022-01-16].
  25. Banach 1957 ↓, s. 177.
  26. Królikowski i Steckiewicz 1964 ↓, s. 214.
  27. Eric W. Weisstein, Saddle Point, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research (ang.). [dostęp 2022-01-17].
  28. powierzchnia minimalna, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2022-01-23].
  29. punkt przegięcia [w:] Encyklopedia Popularna PWN, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1986, ISBN 83-01-01-750-3, s. 641.
  30. Krysicki i Włodarski 2006 ↓, s. 95.

BibliografiaEdytuj

Książki publikowane drukiem
Dokumenty cyfrowe

Linki zewnętrzneEdytuj