Punkt skupienia zbioru
relacja między punktem a zbiorem na osi rzeczywistej lub w innych przestrzeniach topologicznych
Punkt skupienia zbioru – dla danego zbioru przestrzeni topologicznej T1 taki punkt dla którego dowolny zbiór otwarty zawierający zawiera przynajmniej jeden punkt zbioru różny od tzn. przekrój dowolnego sąsiedztwa punktu ze zbiorem jest niepusty.
Punktem skupienia zbioru może być punkt nienależący do niego. Zbiór wszystkich punktów skupienia danego zbioru nazywamy pochodną tego zbioru[1].
Własności
edytuj- Punkt jest punktem skupienia zbioru wtedy i tylko wtedy, gdy należy do domknięcia zbioru [1].
- W przestrzeni metrycznej, lub ogólniej, w przestrzeni topologicznej spełniającej pierwszy aksjomat przeliczalności, punkt jest punktem skupienia zbioru wtedy i tylko wtedy, gdy jest granicą pewnego ciągu elementów zbioru [1][2].
Związane pojęcia
edytuj- Jeśli punkt należy do zbioru, ale nie jest jego punktem skupienia, to nazywamy go punktem izolowanym (tego zbioru). A zatem punkt należący do zbioru jest izolowany wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie jego otoczenie, które nie zawiera punktów zbioru różnych od
- Jeśli w dowolnym otoczeniu punktu znajduje się nieprzeliczalnie wiele elementów zbioru to punkt nazywamy punktem kondensacji zbioru Punkt kondensacji zbioru jest więc także jego punktem skupienia (ale nie odwrotnie).
- Przy definiowaniu granic jednostronnych potrzebne jest pojęcie jednostronnego punktu skupienia. Jeśli (lub ogólniej: dowolnej przestrzeni porządkowej), punkt jest lewostronnym punktem skupienia zbioru jeśli jest punktem skupienia zbioru dla pewnego Podobnie punkt jest prawostronnym punktem skupienia zbioru jeśli jest punktem skupienia zbioru dla pewnego
Ciąg liczb wymiernych nie posiada granicy, ale ma dwa punkty skupienia: oraz , które są granicami dwóch podciągów: oraz
Przykłady
edytuj- Każda liczba rzeczywista jest punktem skupienia zbioru liczb rzeczywistych. Jest ona także punktem kondensacji tego zbioru.
- Każda liczba rzeczywista jest punktem skupienia zbioru liczb wymiernych.
- Pochodną (zbiorem punktów skupienia) przedziałów oraz jest przedział Jest on także zbiorem punktów kondensacji tych przedziałów.
- Zbiór nie ma punktów skupienia – wszystkie punkty tego zbioru są punktami izolowanymi.
- Jedynym punktem skupienia zbioru jest wszystkie punkty tego zbioru są izolowane. Zbiór jest przeliczalny, więc nie może mieć punktów kondensacji.
- Jedynymi punktami skupienia zbioru są i pozostałe punkty są izolowane.
Zobacz też
edytujPrzypisy
edytuj- ↑ a b c Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, s. 48.
- ↑ Punkt skupienia, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-28] .
Linki zewnętrzne
edytuj- Accumulation point (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-04-23].
Encyklopedie internetowe (adherent point):