Punkt skupienia zbioru

Punkt skupienia zbioru – dla danego zbioru przestrzeni topologicznej T1 taki punkt dla którego dowolny zbiór otwarty zawierający zawiera przynajmniej jeden punkt zbioru różny od tzn. przekrój dowolnego sąsiedztwa punktu ze zbiorem jest niepusty.

Punktem skupienia zbioru może być punkt nienależący do niego. Zbiór wszystkich punktów skupienia danego zbioru nazywamy pochodną tego zbioru[1].

WłasnościEdytuj

  • Punkt   jest punktem skupienia zbioru   wtedy i tylko wtedy, gdy należy do domknięcia zbioru  [1].
  • W przestrzeni metrycznej, lub ogólniej, w przestrzeni topologicznej spełniającej pierwszy aksjomat przeliczalności, punkt   jest punktem skupienia zbioru   wtedy i tylko wtedy, gdy jest granicą pewnego ciągu elementów zbioru  [1].

Związane pojęciaEdytuj

  • Jeśli punkt należy do zbioru, ale nie jest jego punktem skupienia, to nazywamy go punktem izolowanym (tego zbioru). A zatem punkt   należący do zbioru   jest izolowany wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie jego otoczenie, które nie zawiera punktów zbioru   różnych od  
  • Jeśli w dowolnym otoczeniu punktu   znajduje się nieprzeliczalnie wiele elementów zbioru   to punkt   nazywamy punktem kondensacji zbioru   Punkt kondensacji zbioru jest więc także jego punktem skupienia (ale nie odwrotnie).
  • Przy definiowaniu granic jednostronnych potrzebne jest pojęcie jednostronnego punktu skupienia. Jeśli   (lub ogólniej: dowolnej przestrzeni porządkowej), punkt   jest lewostronnym punktem skupienia zbioru   jeśli jest punktem skupienia zbioru   dla pewnego   Podobnie punkt   jest prawostronnym punktem skupienia zbioru   jeśli jest punktem skupienia zbioru   dla pewnego  
  • Punktem skupienia ciągu   nazywamy każdą z granic podciągów zbieżnych ciągu   Innymi słowy,   jest punktem skupienia   gdy dowolne otoczenie otwarte   zawiera pewien element ciągu   Ciąg zbieżny ma jednopunktowy zbiór punktów skupienia (złożony z granicy ciągu). Z drugiej strony, ciąg   dla   nieparzystych i   dla   parzystych, ma jednopunktowy zbiór punktów skupienia, ale nie jest zbieżny. Należy też być ostrożnym i rozróżniać punkt skupienia ciągu od punktu skupienia jego zbioru wyrazów. Np. ciąg     dla   jest zbieżny do 2 (i to jedyny element jego zbioru punktów skupienia), natomiast zbiór wyrazów ciągu   to   czyli zbiór, którego wszystkie punkty są izolowane. (Omawiane przykłady dotyczą ciągów na prostej rzeczywistej  ).

PrzykładyEdytuj

  • Każda liczba rzeczywista jest punktem skupienia zbioru liczb rzeczywistych. Jest ona także punktem kondensacji tego zbioru.
  • Każda liczba rzeczywista jest punktem skupienia zbioru liczb wymiernych.
  • Pochodną (zbiorem punktów skupienia) przedziałów   oraz   jest przedział   Jest on także zbiorem punktów kondensacji tych przedziałów.
  • Zbiór   nie ma punktów skupienia – wszystkie punkty tego zbioru są punktami izolowanymi.
  • Jedynym punktem skupienia zbioru   jest 0, wszystkie punkty tego zbioru są izolowane. Zbiór jest przeliczalny, więc nie może mieć punktów kondensacji.
  • Jedynymi punktami skupienia zbioru   są 0 i 1, pozostałe punkty są izolowane.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. a b c Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości. Warszawa: PWN, 1978, s. 48.