Punkt stały

Punkt stały odwzorowania pewnego zbioru w siebie – punkt, w którym wartość odwzorowania na argumencie jest równa temu argumentowi.

Funkcja rzeczywista z trzema punktami stałymi

DefinicjaEdytuj

Niech $X$ będzie zbiorem będącym dziedziną i przeciwdziedziną odwzorowania $f$

f\colon X\to X.

Punkt x należący do zbioru X

x\in X

nazywamy punktem stałym odwzorowania $f,$ jeśli^[1]:

f(x)=x

.

Zbiór punktów stałych oznaczamy $\operatorname {Fix} (f){:}$

\operatorname {Fix} (f)=\{x\in X\colon \;f(x)=x\}.

ZastosowaniaEdytuj

Dużą część zagadnień matematycznych można sprowadzić do poszukiwania punktu stałego pewnych odwzorowań. Należą do nich m.in.:

szukanie optymalnych rozwiązań w teorii gier (zastosowania w ekonomii),
istnienie rozwiązań pewnych równań różniczkowych,
szukanie punktów stałych odwzorowań zbiorów częściowo uporządkowanych (zastosowania w informatyce)
pewne zagadnienia teorii układów dynamicznych i teorii chaosu,

jak i wielu innych.

Nawet szukanie rozwiązania układu równań (np. liczbowych) sprowadza się do szukania punktu stałego pewnego odwzorowania. Dokładniej, niech $X$ będzie przestrzenią liniową (np. $\mathbb {R} ^{n}$ lub $\mathbb {C} ^{n}$ ) oraz $F\colon X\to X.$ Punkt $x\in X$ jest rozwiązaniem równania $F(x)=0$ wtedy i tylko wtedy, gdy jest punktem stałym odwzorowania $f={\mbox{id}}-F.$