Punkt stały

Punkt stały odwzorowania pewnego zbioru w siebie – punkt, w którym wartość odwzorowania na argumencie jest równa temu argumentowi.

Funkcja rzeczywista z trzema punktami stałymi

Definicja

Niech $X$ będzie zbiorem będącym dziedziną i przeciwdziedziną odwzorowania $f$

$f\colon X\to X.$

Punkt x należący do zbioru X

$x\in X$

nazywamy punktem stałym odwzorowania $f,$ jeśli

$f(x)=x.$

Zbiór punktów stałych oznaczamy $\operatorname {Fix} (f){:}$

$\operatorname {Fix} (f)=\{x\in X\colon \;f(x)=x\}.$

Zastosowania

Dużą część zagadnień matematycznych można sprowadzić do poszukiwania punktu stałego pewnych odwzorowań. Należą do nich m.in.:

• szukanie optymalnych rozwiązań w teorii gier (zastosowania w ekonomii),
• istnienie rozwiązań pewnych równań różniczkowych,
• szukanie punktów stałych odwzorowań zbiorów częściowo uporządkowanych (zastosowania w informatyce)
• pewne zagadnienia teorii układów dynamicznych i teorii chaosu,

jak i wielu innych.

Nawet szukanie rozwiązania układu równań (np. liczbowych) sprowadza się do szukania punktu stałego pewnego odwzorowania. Dokładniej, niech $X$ będzie przestrzenią liniową (np. $\mathbb {R} ^{n}$ lub $\mathbb {C} ^{n}$) oraz $F\colon X\to X.$ Punkt $x\in X$ jest rozwiązaniem równania $F(x)=0$ wtedy i tylko wtedy, gdy jest punktem stałym odwzorowania $f={\mbox{id}}-F.$

Zobacz też

• punkt okresowy
• teoria punktu stałego
• twierdzenia o punkcie stałym
• własność punktu stałego

Bibliografia

• Jerzy Jezierski, Wacław Marzantowicz: Homotopy Methods in Topological Fixed and Periodic Points Theory. Dordrecht: Springer, 2006.

Linki zewnętrzne

• Michael Stevens, Fixed Points, kanał Vsauce na YouTube, 28 września 2016 [dostęp 2021-03-15].