Punkt stały
Punkt stały odwzorowania pewnego zbioru w siebie – argument funkcji, dla którego jej wartość jest mu równa. Formalnie: jeśli jest zbiorem, a funkcją na nim, to jej punktem stałym jest każdy element spełniający równanie[1]:
Nie musi to być punkt w sensie geometrycznym; punktem stałym może być liczba, wektor, ciąg, macierz, inna funkcja, figura lub inny zbiór. Ogół wszystkich punktów stałych danej funkcji oznacza się[potrzebny przypis]:
W różnych dziedzinach matematyki jak algebra, analiza czy topologia udowodniono twierdzenia o punkcie stałym gwarantujące istnienie takich argumentów dla pewnych typów funkcji. Tak powstała cała dyscyplina poświęcona tego typu zagadnieniom: teoria punktu stałego.
Istnieją uogólnienia tego pojęcia jak:
- punkt okresowy definiowany dla dowolnej funkcji wewnątrz zbioru;
- wektor własny określony dla endomorfizmów liniowych i macierzy kwadratowych.
Zastosowania
edytujCzęść zagadnień matematycznych można sprowadzić do poszukiwania punktów stałych. Przykłady to[potrzebny przypis]:
- szukanie optymalnych rozwiązań w teorii gier (zastosowania w ekonomii),
- istnienie rozwiązań pewnych równań różniczkowych,
- szukanie punktów stałych odwzorowań zbiorów częściowo uporządkowanych (zastosowania w informatyce)
- pewne zagadnienia teorii układów dynamicznych i teorii chaosu.
Także rozwiązywanie układu równań, np. liczbowych, sprowadza się do szukania punktu stałego pewnej funkcji. Dokładniej, niech będzie przestrzenią liniową (np. lub ) oraz Punkt jest rozwiązaniem równania wtedy i tylko wtedy, gdy jest punktem stałym odwzorowania
Zobacz też
edytuj- nieporządek
- palindromy – punkty stałe odwrócenia (inwersji) ciągu
- własność punktu stałego
Przypisy
edytuj- ↑ Punkt stały przekształcenia, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-28] .
Bibliografia
edytuj- Jerzy Jezierski, Wacław Marzantowicz: Homotopy Methods in Topological Fixed and Periodic Points Theory. Dordrecht: Springer, 2006.
Linki zewnętrzne
edytuj- Eric W. Weisstein , Fixed Point, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-10-10].
- Fixed point (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-10-10].
- Michael Stevens, Fixed Points, kanał Vsauce na YouTube, 28 września 2016 [dostęp 2021-03-15].