Punkt stały

typ punktu w dziedzinie funkcji

Punkt stały odwzorowania pewnego zbioru w siebie – argument funkcji, dla którego jej wartość jest mu równa. Formalnie: jeśli jest zbiorem, a funkcją na nim, to jej punktem stałym jest każdy element spełniający równanie[1]:

Funkcja rzeczywista zmiennej rzeczywistej mająca trzy punkty stałe

Nie musi to być punkt w sensie geometrycznym; punktem stałym może być liczba, wektor, ciąg, macierz, inna funkcja, figura lub inny zbiór. Ogół wszystkich punktów stałych danej funkcji oznacza się[potrzebny przypis]:

W różnych dziedzinach matematyki jak algebra, analiza czy topologia udowodniono twierdzenia o punkcie stałym gwarantujące istnienie takich argumentów dla pewnych typów funkcji. Tak powstała cała dyscyplina poświęcona tego typu zagadnieniom: teoria punktu stałego.

Istnieją uogólnienia tego pojęcia jak:

Zastosowania edytuj

Część zagadnień matematycznych można sprowadzić do poszukiwania punktów stałych. Przykłady to[potrzebny przypis]:

Także rozwiązywanie układu równań, np. liczbowych, sprowadza się do szukania punktu stałego pewnej funkcji. Dokładniej, niech   będzie przestrzenią liniową (np.   lub  ) oraz   Punkt   jest rozwiązaniem równania   wtedy i tylko wtedy, gdy jest punktem stałym odwzorowania  

Zobacz też edytuj

Przypisy edytuj

  1. Punkt stały przekształcenia, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-07-28].

Bibliografia edytuj

Linki zewnętrzne edytuj