Różnica symetryczna zbiorów

Różnica symetryczna zbiorów i zbiór, do którego należą elementy zbioru nienależące do zbioru oraz elementy należące do zbioru ale nienależące do zbioru [1].

Diagram Venna dla (różnica symetryczna oznaczona jest kolorem jasnofioletowym)

Różnicę symetryczną oznaczamy symbolem [1][2][3]. Używane są również symbole oraz [4].

Definicja formalnaEdytuj

 [1].

WłasnościEdytuj

  •  
  • Jeśli   to  
  • Za pomocą różnicy symetrycznej i iloczynu można zdefiniować sumę i różnicę zbiorów:
    • Jeśli   to   ogólniej,  [2].
    •  [2]
  • Zbiór   składa się z elementów należących albo do wszystkich trzech zbiorów, albo do dokładnie jednego z nich. Z uwagi tej wynika łączność tego działania[3][2].
  • Zbiór potęgowy   zbioru   z operacją różnicy symetrycznej tworzy grupę przemienną, gdyż działanie to:
  • Wraz z operacją przekroju powyższa grupa tworzy przemienny, łączny pierścień z jedynką, w którym   dla wszystkich   W szczególności pierścień ten jest przykładem pierścienia Boole’a.

Różnica symetryczna w logiceEdytuj

Przyjmując, że zdanie logiczne   oznacza: „  należy do zbioru  ”, natomiast zdanie  : „  należy do zbioru  ” to zdanie   można równoważnie zapisać jako   gdzie   oznacza alternatywę rozłączną.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

BibliografiaEdytuj