Otwórz menu główne

Różnica zbiorów zbiór złożony z tych elementów zbioru które nie należą do

DefinicjeEdytuj

 
Różnica zbiorów   i   oznaczona kolorem fioletowym.

Do różnicy zbiorów   i   należą te i tylko te elementy zbioru   które nie należą do zbioru  [1][2][3]:

 [1],

co jest równoważne

 [4] [5],

gdzie   jest zbiorem wszystkich rozważanych elementów zwanym przestrzenią[6][7] lub uniwersum[8].

Różnica zbiorów   i   jest zazwyczaj oznaczana przez  [4][5], niekiedy także przez  [1][3][2].

Za pomocą różnicy zbiorów można zdefiniować dwie inne operacje: różnicę symetryczną i dopełnienie zbioru. Za pomocą różnicy można zdefiniować także iloczyn (część wspólną) zbiorów:

 [9].

PrzykładyEdytuj

  • Niech   będzie zbiorem liczb wymiernych a   niech będzie zbiorem liczb rzeczywistych. Wówczas   jest zbiorem liczb niewymiernych[1]  
 
  • Jeżeli   a   to  

WłasnościEdytuj

  jest podzbiorem   (czyli zbiór   zawiera się w  ) wtedy i tylko wtedy, gdy różnica   jest zbiorem pustym:

 

W teorii zbiorów i jej zastosowaniach ważną rolę odgrywa tak zwana zasada dualności[10], która jest oparta na dwóch następujących tożsamościach:

  • Dopełnienie sumy zbiorów jest równe iloczynowi ich dopełnień:
 
  • Dopełnienie iloczynu zbiorów jest równe sumie ich dopełnień:
 

Zasada dualności w teorii mnogości polega na tym, że z dowolnej równości, dotyczącej podzbiorów ustalonego zbioru   można całkiem automatycznie uzyskać równość dualną, zastępując wszystkie zbiory ich dopełnieniami, sumy – iloczynami, a iloczyny – sumami.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

BibliografiaEdytuj