Różniczka zupełna

Różniczką zupełną funkcji $f(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})$ zmiennych niezależnych $q_{1},q_{2},\dots ,q_{n}$ nazywamy takie wyrażenie Pfaffa, że:

$df=\sum _{i=1}^{n}{{\frac {\partial f(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})}{\partial q_{i}}}dq_{i}},$

gdzie:

• ${\frac {\partial P(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})}{\partial q_{i}}}$ – pochodna cząstkowa funkcji $f$ po zmiennej $q_{i},$
• $dq_{i}$ – różniczki zmiennych niezależnych.

Przypadek funkcji jednej zmiennej

Na górnym wykresie widzimy przybliżenie funkcji $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ (niebieska linia przedstawia jej fragment) za pomocą różnicy skończonej $r$ (będącej funkcją liniową – żółta linia na rysunku). Na rysunku oznaczono 2 punkty dziedziny $x_{1}$ oraz $x_{1}+\Delta x=x_{2}.$ Różnica wartości funkcji $f$ w tych dwóch punktach została oznaczona za pomocą $\Delta f$ to znaczy $\Delta f=f(x_{2})-f(x_{1})=f(x_{1}+\Delta x)-f(x_{1}).$ Pochodną funkcji $f$ w punkcie $x_{1},$ tj. $f'(x_{1})$ oznaczono równoważnie za pomocą ${\frac {df}{dx}}(x_{1}).$ Wartość $f(x_{2})=f(x_{1}+\Delta x)$ została przybliżona za pomocą funkcji (różnicy skończonej) $r(x_{2})=f(x_{1})+f'(x_{1})(x_{2}-x_{1})$ (jak widać, funkcja ta jest liniowa względem $x_{2}$) co można zapisać inaczej (jak na rysunku) jako $r(x+\Delta x)=f(x_{1})+{\frac {df}{dx}}(x_{1})\Delta x.$ Na dolnym wykresie jest „nieskończenie wiele razy powiększone otoczenie punktu $x_{1}$” (fioletowy kwadracik z górnego wykresu). Na dolnym wykresie żółta linia nie została naniesiona, gdyż pokrywa się z niebieską.

Jeżeli, zależna od jednej zmiennej $x,$ funkcja rzeczywista $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ i jej pochodna $f'(x)$ jest określona, to różniczka zupełna ma postać

$df(x)=f'(x)dx.$

Na wykresach przedstawiono przykład przybliżenia funkcji za pomocą różnic skończonych oraz tą samą sytuację z punktu widzenia różniczkowego (przybliżenie wartości funkcji staje się wówczas dokładną wartością, gdyż w „świecie różniczkowym” fragment wykresu funkcji nie ma krzywizny, ale jest odcinkiem prostej): gdy $\Delta x\to 0,$ to

ze świata różnic skończonych wkraczamy w świat różniczek, dostając $dx,$ które jest dowolnie małe (infinitezymalne, czyli mniejsze od każdej dodatniej liczby rzeczywistej, ale większe od zera).

Rysunki pokazują, jak należy intuicyjnie pojmować, czym są różniczki: tak jak $\Delta f$ mówi o przyroście wartości funkcji w świecie różnic skończonych, tak $df$ mówi o infinitezymalnym przyroście funkcji w świecie różniczek.

Przypadek funkcji dwóch zmiennych

Dla funkcji dwóch zmiennych $f(x,y)$ różniczka zupełna ma postać:

$df(x,y)={\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}}dx+{\frac {\partial f(x,y)}{\partial y}}dy.$

Powyższe wyrażenie po zamianie różniczek na różnice skończone $\Delta x,\Delta y$ przyjmie postać przyrostu funkcji

$\Delta f(x,y)={\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}}\Delta x+{\frac {\partial f(x,y)}{\partial y}}\Delta y.$

Wówczas wartość funkcji można obliczyć w sposób przybliżony ze wzoru

$f(x+\Delta x,y+\Delta y)\approx f(x,y)+\Delta f(x,y).$

Różniczki wyższych rzędów

(1) Różniczkę drugiego rzędu $d^{2}f(x,y)$ oblicza się, korzystając z wzoru z przypadku 2D. W notacji zamiast pisać $f(x,y)$ piszemy $f$

${\begin{aligned}d^{2}f&=d(df)\\&=d\left({\frac {\partial f}{\partial x}}dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}dy\right)\\&={\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}dy\right)dx+{\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}dy\right)dy\\&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}dx^{2}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}dydx+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}dxdy+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}dy^{2}\\&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}dx^{2}+2{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}dxdy+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}dy^{2}.\end{aligned}}$

(2) Różniczka $d^{3}f(x,y)$ ma postać

$d^{3}f={\frac {\partial ^{3}f}{\partial x^{3}}}dx^{3}+3{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x^{2}\partial y}}dx^{2}dy+3{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x\partial y^{2}}}dxdy^{2}+{\frac {\partial ^{3}f}{\partial y^{3}}}dy^{3}.$

(3) Jak widać wzory na różniczkę drugiego i trzeciego rzędu przypominają wzory skróconego mnożenia dla $(x+y)^{2}$ oraz $(x+y)^{3}.$ Okazuje się, że można w ten sposób napisać wzory na różniczkę n-tego rzędu (korzystając ze wzoru na dwumian Newtona).

Twierdzenie o istnieniu różniczki zupełnej

Tw. Jeżeli mamy dane wyrażenie Pfaffa postaci

$\sum _{i=1}^{n}{f_{i}(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})dq_{i}},$

gdzie $f_{i}(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n}),i=1,\dots ,n$ – dane funkcje zmiennych $q_{1},q_{2},\dots ,q_{n},$

to jest ono różniczką zupełną $df$ pewnej funkcji $f(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n}),$ jeżeli dla każdego $i,j$ zachodzi:

${\frac {\partial f_{i}(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})}{\partial q_{j}}}={\frac {\partial f_{j}(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})}{\partial q_{i}}}.$

Dowód:

Wychodząc z wyrażenia na różniczkę zupełną $df,$ widzimy, że funkcje $f_{i}(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})$ mają postacie

$f_{i}(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})={\frac {\partial f(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})}{\partial q_{i}}}$

i powyższy warunek na istnienie różniczki zupełnej funkcji $f(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})$ sprowadza się do żądania, by równe były pochodne cząstkowe drugiego rzędu

${\frac {\partial ^{2}f(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})}{\partial q_{j}\partial q_{i}}}={\frac {\partial ^{2}f(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})}{\partial q_{i}\partial q_{j}}}$

– wymóg ten jest zawsze spełniony, jeżeli istnieją powyższe pochodne, cnd.

Zobacz też

• pochodna zupełna

Bibliografia

• Igor N. Bronsztejn, Konstantin A. Siemiendiajew: Matematyka, poradnik encyklopedyczny. Wyd. XIV. Warszawa: Państwowe wydawnictwo naukowe PWN, 1997. ISBN 83-01-11658-7.

Linki zewnętrzne

• 1. Pochodne cząstkowe; 2. Różniczki, 2.1. Różniczka zupełna; Filip A. Wudarski na: www.fizyka.umk.pl (Materiay MMF)