Różniczka zupełna

Różniczką zupełną funkcji zmiennych niezależnych nazywamy takie wyrażenie Pfaffa, że:

gdzie:

  • pochodna cząstkowa funkcji po zmiennej
  • różniczki zmiennych niezależnych.

Przypadek funkcji jednej zmiennejEdytuj

 
Na górnym wykresie widzimy przybliżenie funkcji   (niebieska linia przedstawia jej fragment) za pomocą różnicy skończonej   (będącej funkcją liniową – żółta linia na rysunku). Na rysunku oznaczono 2 punkty dziedziny   oraz   Różnica wartości funkcji   w tych dwóch punktach została oznaczona za pomocą   to znaczy   Pochodną funkcji   w punkcie   tj.   oznaczono równoważnie za pomocą   Wartość   została przybliżona za pomocą funkcji (różnicy skończonej)   (jak widać, funkcja ta jest liniowa względem  ) co można zapisać inaczej (jak na rysunku) jako   Na dolnym wykresie jest „nieskończenie wiele razy powiększone otoczenie punktu  ” (fioletowy kwadracik z górnego wykresu). Na dolnym wykresie żółta linia nie została naniesiona, gdyż pokrywa się z niebieską.

Jeżeli, zależna od jednej zmiennej   funkcja rzeczywista   i jej pochodna   jest określona, to różniczka zupełna ma postać

 

Na wykresach przedstawiono przykład przybliżenia funkcji za pomocą różnic skończonych oraz tą samą sytuację z punktu widzenia różniczkowego (przybliżenie wartości funkcji staje się wówczas dokładną wartością, gdyż w „świecie różniczkowym” fragment wykresu funkcji nie ma krzywizny, ale jest odcinkiem prostej): gdy   to

ze świata różnic skończonych wkraczamy w świat różniczek, dostając   które jest dowolnie małe (infinitezymalne, czyli mniejsze od każdej dodatniej liczby rzeczywistej, ale większe od zera).

Rysunki pokazują, jak należy intuicyjnie pojmować, czym są różniczki: tak jak   mówi o przyroście wartości funkcji w świecie różnic skończonych, tak   mówi o infinitezymalnym przyroście funkcji w świecie różniczek.

Przypadek funkcji dwóch zmiennychEdytuj

Dla funkcji dwóch zmiennych   różniczka zupełna ma postać[1]:

 

Powyższe wyrażenie po zamianie różniczek na różnice skończone   przyjmie postać przyrostu funkcji

 

Wówczas wartość funkcji można obliczyć w sposób przybliżony ze wzoru

 

Różniczki wyższych rzędów[2]Edytuj

(1) Różniczkę drugiego rzędu   oblicza się, korzystając z wzoru z przypadku 2D. W notacji zamiast pisać   piszemy  

 

(2) Różniczka   ma postać

 

(3) Jak widać wzory na różniczkę drugiego i trzeciego rzędu przypominają wzory skróconego mnożenia dla   oraz   Okazuje się, że można w ten sposób napisać wzory na różniczkę n-tego rzędu (korzystając ze wzoru na dwumian Newtona).

Twierdzenie o istnieniu różniczki zupełnejEdytuj

Tw. Jeżeli mamy dane wyrażenie Pfaffa postaci

 

gdzie   – dane funkcje zmiennych  

to jest ono różniczką zupełną   pewnej funkcji   jeżeli dla każdego   zachodzi:

 

Dowód:

Wychodząc z wyrażenia na różniczkę zupełną   widzimy, że funkcje   mają postacie

 

i powyższy warunek na istnienie różniczki zupełnej funkcji   sprowadza się do żądania, by równe były pochodne cząstkowe drugiego rzędu

 

– wymóg ten jest zawsze spełniony, jeżeli istnieją powyższe pochodne, cnd.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

BibliografiaEdytuj

  • Igor N. Bronsztejn, Konstantin A. Siemiendiajew: Matematyka, poradnik encyklopedyczny. Wyd. XIV. Warszawa: Państwowe wydawnictwo naukowe PWN, 1997. ISBN 83-01-11658-7.

Linki zewnętrzneEdytuj