Otwórz menu główne

Równania Eulera-Lagrange’a

Równania Eulera-Lagrange’a, równania Lagrange’a – równania cząstkowe drugiego rzędu, których rozwiązaniami są funkcje, dla których funkcjonał (zadany całką oznaczoną) jest stacjonarny. Stanowią podstawowe równania rachunku wariacyjnego.

Np. dla funkcjonału zależnego od funkcji jednej zmiennej i jej pierwszej pochodnej

równania Eulera-Lagrange’a przyjmują postać:

Rozwiązaniami tego równania są funkcje dla których jest stacjonarne, tj. dla funkcji niewiele odchylającej się od funkcji optymalnej wartość funkcjonału zmienia się nieznacznie. Jest to warunkiem koniecznym, żeby przyjmowało dla ekstremum.

Postać równań Eulera-Lagrange’a w ogólniejszych przypadkach (wiele funkcji, wiele zmiennych, pochodne wyższych rzędów) omówiono w dalszych rozdziałach artykułu.

HistoriaEdytuj

Równanie Eulera-Lagrange’a zostało wprowadzone przez Leonharda Eulera i Josepha Louisa Lagrange’a w latach 1750 podczas prac związanych z problemem tautochrony. Lagrange znalazł rozwiązanie tego problemu w 1755 i przesłał je Eulerowi. Obaj rozwijali dalej tę metodę i zastosowali ją w mechanice, co doprowadziło do sformułowania mechaniki lagranżowskiej. Dzięki ich współpracy powstał rachunek wariacyjny (nazwę tę wymyślił Euler w 1766)[1].

ZastosowaniaEdytuj

Równania Eulera-Lagrange’a stosuje się w rachunku wariacyjnym, na przykład szukając najkrótszej drogi (geodezyjnej), biegu promienia światła, czyli linii, dla której droga optyczna jest najkrótsza (zasada Fermata) albo do minimalizacji energii potencjalnej układu (np. krzywa łańcuchowa).

Mechanika klasycznaEdytuj

Zgodnie z zasadą Hamiltona układ fizyczny porusza się po takiej trajektorii, że działanie   obliczone dla ruchu od chwili   do chwili   jest stacjonarne, przy czym

 

gdzie:

  – czas,
 lagrangian.

W mechanice klasycznej lagrangian ma postać:

 

gdzie:

  – energia kinetyczna układu,
  – energia potencjalna układu.

Aby   było stacjonarne,   musi spełniać równanie Eulera-Lagrange’a dla każdej zmiennej stanu  

 

gdzie:

 

Wyrażenia występujące w równaniach Eulera-Lagrange’a mają swoje nazwy:

 siła uogólniona (jej  -ta składowa),
 pęd uogólniony (jego  -ta składowa).

Przykład: Maszyna AtwoodaEdytuj

 
Maszyna Atwooda.   i   to odległości ciał o masach odpowiednio   i   od poziomu osi krążka. Do opisu układu potrzebne są dwie współrzędne stanu (  i  ).

Mamy układ dwóch mas     w stałym polu grawitacyjnym   przewieszonych przez nieważki krążek. Linka, na której wiszą również jest nieważka i nierozciągliwa. Chcemy znaleźć równania ruchu tych mas.

Mamy:

 
 

czyli lagrangian ma postać:

 

A ponieważ linka jest nierozciągliwa   gdzie C jest pewną stałą związana z długością linki. Otrzymujemy lagrangian zależny tylko od jednej współrzędnej:

 

Składowe równania Eulera-Lagrange’a:

 
 

Z równania Eulera-Lagrange’a:

 

Rozwiązując względem   otrzymujemy stałe przyspieszenie:

 

Całkując powyższe równanie dwukrotnie, otrzymamy:

 

gdzie   i   to prędkość i położenie masy   w chwili  

Trajektorię drugiego ciała łatwo teraz wyznaczyć:

 

BrachistochronaEdytuj

Osobny artykuł: Brachistochrona.

Brachistochrona to taka krzywa łącząca punkty A i B, że czas ruchu masy punktowej od punktu A do B pod wpływem siły ciężkości   jest minimalny. Problem znajdowania takiej krzywej można rozwiązać przy użyciu równania Eulera-Lagrange’a. W tym przypadku szukamy takiej krzywej   żeby czas   był minimalny.

 

gdzie:

  – prędkość ciała, której zależność od   wynika z zasady zachowania energii,
 różniczka drogi.

Podstawiając, otrzymujemy:

 

gdzie:

 

Czas ruchu będzie minimalny dla krzywej   spełniającej równanie Eulera-Lagrange’a:

 

Rozwiązując to równanie, otrzymujemy brachistochronę:

 
 

gdzie   to stała zależna od warunków brzegowych, czyli od punktów A i B.

Krzywa łańcuchowaEdytuj

Osobny artykuł: Krzywa łańcuchowa.

Równanie Eulera-Lagrange’a pozwala także wyznaczyć krzywą łańcuchową[2], która opisuje kształt doskonale nierozciągliwej i nieskończenie wiotkiej liny o niezerowej masie swobodnie zwisającej między dwoma punktami A i B w jednorodnym polu grawitacyjnym   Układ mechaniczny jest w równowadze, gdy jego energia potencjalna jest minimalna. Energia potencjalna wynosi:

 

gdzie:

  – gęstość liniowa linki,
 różniczka długości krzywej.

Podstawiając, otrzymujemy:

 

gdzie:

 

Aby energia potencjalna była minimalna,   musi spełniać równanie Eulera-Lagrange’a:

 

Rozwiązując to równanie, otrzymujemy postać krzywej łańcuchowej:

 

gdzie   jest stałą zależną od długości liny i położenia punktów A i B.

DowódEdytuj

Niech   będzie ciągłą funkcją parametru   o zadanych warunkach początkowych i końcowych:

  i  

Mamy daną funkcję   i szukamy takich   żeby   było stacjonarne. Załóżmy, że   jest takim rozwiązaniem.

Wprowadźmy do rozważań parametr   niezależny od czasu oraz funkcję ciągłą   taką, że   oraz   Jeżeli przyjmiemy, że   to zagadnienie sprowadzi się do analizy funkcji jednej zmiennej  

 

Gdy   jest stacjonarne, to

 
 twierdzenie Leibniza (o różniczkowaniu pod znakiem całki).

Korzystając ze wzoru na pochodną funkcji złożonej, otrzymujemy:

 

Całkując drugi człon przez części, mamy:

 

Ponieważ   dla każdego   więc   Podobnie   Wobec tego   i stąd

 

Ponieważ warunek ten musi być spełniony dla dowolnej funkcji   więc otrzymamy równanie

 

stanowiące warunek konieczny istnienia ekstremum funkcjonału  

Uogólnienia dla kilku funkcji, kilku zmiennych, wyższych pochodnychEdytuj

Pojedyncza funkcja jednej zmiennej z wyższymi pochodnymiEdytuj

Wartość stacjonarna funkcjonału

 

można otrzymać z równań Eulera-Lagrange’a postaci

 

przy ustalonych warunkach brzegowych dla funkcji i jej pochodnych od pierwszej do   (tj. dla  ). Punkty brzegowe pochodnej   są dowolne.

Kilka funkcji jednej zmiennej z pochodną 1-go rzęduEdytuj

Jeżeli mamy funkcje   zmiennej   to szukamy extremum funkcjonału

 

Równania Eulera-Lagrange’a mają postać

 

Pojedyncza funkcja kilku zmiennych z pochodną 1-go rzęduEdytuj

Jeżeli funkcja zależy od wielu zmiennych jest określona na pewnej powierzchni   to

 

osiąga ekstremum, gdy

 

Dla   funkcjonał   jest funkcjonałem energii; ekstremum jest powierzchnią minimalną (np. bańki mydlanej).

Kilka funkcji kilku zmiennych z pochodnymi 1-go rzęduEdytuj

Jeśli trzeba wyznaczyć kilka nieznanych funkcji o wielu zmiennych, takich że

 
 

to układ równań Eulera-Lagrange’a ma postać

 

Pojedyncza funkcja o 2 zmiennych z wyższymi pochodnymiEdytuj

Jeżeli nieznana funkcja   zależy od dwóch zmiennych   oraz   i jeżeli funkcjonał zależy od wyższych pochodnych funkcji – od pierwszej aż do  -tej, tj.

 

to równanie Eulera-Lagrange’a ma postać

 

co można krótko zapisać w postaci

 

gdzie   są indeksami które przebiegają od 1 do liczny zmiennych, np. tutaj przyjmują wartości od 1do 2. Sumowanie po indeksach   jest takie, że   tzn. nie może być sumowania tej samej pochodnej cząstkowej dwa razy – po przestawieniu kolejności zmiennych; np.   pojawia się tylko jeden raz.

Kilka funkcji o kilku zmiennych z wyższymi pochodnymiEdytuj

Jeżeli jest   nieznanych funkcji   zależnych od   zmiennych   oraz funkcjonał zależy od pochodnych tych funkcji aż do  -tego rzędu, tj.

 

gdzie   są indeksami o wartościach od 1 do m (tj. do liczby zmiennych), to równania Eulera-Lagrange’a mają postać

 

gdzie sumowanie po indeksach   jest takie, by nie powtarzać sumowania samych pochodnych cząstkowych   kilka razy (podobnie jak w podrozdziale powyżej). Można to wyrazić w bardziej zwarty sposób w postaci:

 

Uogólnienia na rozmaitościEdytuj

Niech   będzie gładką rozmaitością oraz niech   oznacza przestrzeń funkcji gładkich   Wtedy dla funkcjonałów   w postaci

 

gdzie   jest lagrangianem wyrażenie   jest równoważne warunkowi, że dla wszystkich   każdy układ   w sąsiedztwie   prowadzi do   o równaniach:

 

PrzypisyEdytuj

BibliografiaEdytuj