Równania Naviera-Stokesa

Równania Naviera-Stokesa (nazwane na cześć Claude’a-Louis Naviera i George’a Gabriela Stokesa) – zestaw równań opisujących zasadę zachowania pędu dla poruszającego się płynu. Według nich zmiany pędu elementu płynu zależą jedynie od sił masowych, zewnętrznego ciśnienia i wewnętrznych sił lepkości w płynie.

Dla płynu idealnego o zerowej lepkości równania mówią, że przyspieszenie jest proporcjonalne do gradientu ciśnienia.

Równania są wyrażone w postaci różniczkowej, dla danego problemu fizycznego muszą być znalezione na drodze rachunku różniczkowego i całkowego. W praktyce jedynie najprostsze przypadki mogą być rozwiązane analitycznie, na przykład nieturbulentnego (laminarnego), stacjonarnego przepływu (niezmieniającego się w czasie), w których liczba Reynoldsa ma małą wartość[1].

W bardziej złożonych przypadkach, jak prognozowanie pogody na Ziemi, analiza El Niño lub obliczenia siły nośnej skrzydeł samolotów, rozwiązania równań Naviera-Stokesa mogą być znalezione jedynie metodami numerycznymi przy pomocy komputerów. Jest to oddzielna dziedzina nauki zwana obliczeniową mechaniką płynów.

W 2000 roku Instytut Matematyczny Claya ogłosił równania Naviera-Stokesa jednym z siedmiu problemów milenijnych matematyki i zaoferował 1 000 000 dolarów nagrody za podanie rozwiązania lub kontrprzykładu[1].

Ogólna forma równańEdytuj

Ogólna forma równań Naviera-Stokesa[2]. Dwa ostatnie człony po prawej stronie równania wynikają z uwzględnienia niestałości lepkości w obrębie przepływu – uproszczone formy równań Naviera-Stokesa znajdują się w sekcji #Dodatkowe założenia:

 

gdzie:

  •  gęstość płynu
  •  wektor prędkości
  •   – wektor sił masowych działających na płyn, np. przyspieszenie ziemskie
  •   = Paciśnienie
  •  lepkość dynamiczna (powyższe równania uwzględniają, że nie jest ona stałą tylko jest różna dla różnych punktów przepływu)
  •  lepkość objętościowa (powyższe równania uwzględniają, że nie jest ona stałą tylko jest różna dla różnych punktów przepływu)
  •  wektorowy operator Laplace’a (nie mylić ze skalarnym operatorem Laplace’a, który akurat w układzie kartezjańskim, gdy wykonany osobno na każdej składowej wektora da ten sam rezultat, ale już nie np. w układzie cylindrycznym). W kartezjańskim układzie dostajemy taki wektor:
 
 gradient prędkości (rozwinięty w kartezjańskim układzie współrzędnych, gdzie np.  )
  wyrażenie takiej postaci to gradient z dywergencji prędkości w kartezjańskim układzie współrzędnych (jest to wektor, gdyż dywergencja prędkości to skalar, a gradient ze skalaru to wektor), gdzie oznaczenie np.  
 dywergencja prędkości
 gradient ciśnienia

Powyższe równania Naviera-Stokesa zostały podane w formie operatorowej, która dla wszystkich układów współrzędnych przestrzennych ma taką samą postać (ale już nie w sytuacji gdy zmieniamy współrzędne w czasie np. wprowadzenie wirującego układu współrzednych spowoduje pojawienie się dodatkowych elementów w równaniach związanych z efektem Coriolisa). Ponadto, przy wyznaczaniu jawnej postaci różniczkowej równań dla konkretnego układu współrzędnych przestrzennych musimy znaleźć postać wszystkich elementów równania (w tym operatorów) dla docelowego układu współrzędnych – przykładowo: element   zawierający wektorowy operator Laplace’a dla cylindrycznego układu współrzędnych będzie miał postać:

 

gdzie symbol pochodnej cząstkowej   z dolnym ideksem/ami obejuje tylko bezpośrednio następujący po nim symbol np.  

Postać w kartezjańskim układzie współrzędnychEdytuj

Równanie wektorowe NS dla poszczególnych współrzędnych przyjmuje postać

 

gdzie użyto oznaczeń pochodnych cząstkowych   oraz  

WyprowadzenieEdytuj

Wyprowadzenie rozpoczyna się od równania pędu Cauchy’ego zapisanego w kartezjańskim układzie współrzędnych (upraszczający obliczenia i stanowiącym punkt wyjścia dla innych układów wsp.) dla którego   gdzie w ostatniej równości po prawej działania możemy traktować jak mnożenie/transpozycje wektorów i macierzy (co również będziemy wykorzystywali w dalszej części wyprowadzenia)[3]:

 


Aby otrzymać równania Naviera-Stokesa, należy poczynić założenia w celu zamodelowania tensora naprężeń   Zwyczajowo tensor naprężenia dzieli się na dwie części:

 

gdzie   to macierz jednostkowa. Gdy płyn jest nieruchomy w polu sił, to tensor   zeruje się natomiast ciśnienie p niekoniecznie.

W oznaczeniach poniżej przyjmuje się, że   oraz   Ponadto będziemy stosować konwencję sumacyjną Einsteina.

Założenie 1

Równania opisują płyn newtonowski, tzn. tensor   jest liniową funkcją gradientu prędkości, tzn. ma postać:

 

gdzie:   jest tensorem czwartego rzędu (ma 81 składowych). Ponieważ stosujemy konwencję sumacyjną Einsteina, więc przed prawą stroną powyższego równania stoją dwa znaki sumy: po indeksie k oraz l.

Założenie 2

Płyn jest izotropowy i jednorodny. Implikuje to że tensor   powinien być niezależny od kierunku. Innym znanym tensorem niezależnym od kierunku jest   (delta Kroneckera). Delta Kroneckera jest rzędu 2 więc my musimy znaleźć jej odpowiednik, ale rzędu 4. W celu zbadania niezależności tensora od kierunku wprowadźmy 4-liniową formę S (funkcję dającą skalar w wyniku) będącą iloczynem wewnętrznym tensora   i czterech wektorów   (ponieważ stosujemy konwencję sumacyjną Einsteina, więc przed prawą stroną równania poniżej stoją cztery znaki sumy: po indeksie i,j,k oraz l.):

 

Tensor   jest niezależny od kierunku wektorów na których działa tylko wtedy gdy również funkcja S jest niezależna. Aby funkcja S była niezależna od kierunku, nie powinna być zależna od bezwzględnego położenia wektorów   ale powinna zmieniać wartość gdy wektory zmieniają swoje długości lub położenia względem siebie. Zatem S powinna zmieniać wartość, gdy zmieniają się cosinusy kątów między poszczególnymi wektorami (i gdy zmienia się długość wektorów). Funkcją, która to umożliwia jest iloczyn skalarny, wówczas S możemy skonstruować następująco (dla zwięzłości pomijamy listę argumentów S):

 

Inne liniowe funkcje ponad powyższą (np. z wyrazami typu  ), niczego więcej nie wniosą. Zatem rozpisując iloczyny skalarne, mamy:

 

przekształcając dalej:

 

zatem tensor   aby był izotropowy, musi mieć postać:

 
Założenie 3

Symetria tensora naprężeń, tj.   Badając równowagę elementarnego sześcianu, zakładając, że nie występują naprężenia momentowe (dla których uogólnioną teorię sformułowali bracia Cosserat, 1909)[4], można dowieść, że tensor naprężenia jest symetryczny. Jednak w ogólności tak nie jest i np. dla płynów polarnych w polu elektromagnetycznym takie założenie jest błędne. Równania Naviera-Stokesa nie uwzględniają tego typu płynów, ale za to uwzględniają szeroką klasę płynów powszechnie używanych. Zatem:

 

Podstawiając wyprowadzoną postać tensora   pod lewą i prawą stronę równania, otrzymamy:

 

i dalej:

 

co prowadzi do:

 

Ponieważ w szczególności ta równość musi zachodzić dla   np.   to mamy:

 

Zatem

 

Podstawiając to do tensora   otrzymujemy:

 
Ostatnie kroki wyprowadzenia

Zamieniając nazwy parametrów na powszechnie używane (a pierwotnie wywodzące się z rozważań na temat tensora sztywności dla ciał stałych, gdzie nazywane są stałymi Lamégo), tj.:   oraz   w tensorze   i podstawiając go do tensora   mamy:

 

Po uwzględnieniu działania delty Kroneckera otrzymamy:

 

Ostatecznie tensor naprężenia   można zapisać, używając operatorów następująco (literka T w górnym indeksie oznacza transpozycję macierzy):

 

W ten sposób doszliśmy do końca definicji modelu i jest to właściwie koniec wyprowadzenia. Podstawiając taką formę tensora naprężeń   do równania pędu Cauchy’ego, otrzymamy równania Naviera-Stokesa.

Końcowe podstawienie

Jednak aby wszystko było w pełni jasne, dokonamy ten krok podstawienia. Wyliczmy dywergencję transponowaną z   korzystając z faktu, że w układzie kartezjańskim możemy ją wyliczyć jako mnożenie wektora z macierzą:

 

W przejściu do ostatniej równości skorzystaliśmy z przemienności mnożenia skalaru przez macierz. Rozpisując dokładnie wszystkie operatory (na postać pochodnych cząstkowych), można sprawdzić, że prawdziwy jest poniższy ciąg równości (uwaga! uwzględniono tu, że lepkości są funkcjami zależnymi od położenia, a nie stałymi):