Otwórz menu główne

Równanie Hamiltona-Jacobiego

Równanie Hamiltona-Jacobiego – postać równań ruchu, którą można utworzyć na podstawie hamiltonianu.

Ma ono postać równania różniczkowego cząstkowego na funkcję działania [1]:

gdzie opisuje transformację

która daje rozwiązania równań ruchu, w których i pełnią rolę stałych całkowania.

Nazwa pochodzi od Williama Rowana Hamiltona i Gustava Jacobiego[2].

WyprowadzenieEdytuj

Jest to metoda całkowania równań kanonicznych Hamiltona

 
 
(1)
dla  

Jeżeli przekształcenie kanoniczne

 
 
(2)

prowadzi do postaci funkcji Hamiltona niezależnej od nowych zmiennych kanonicznych, np.

 
(3)

równania Hamiltona przybierają postać

 
 
(4)

Ich rozwiązaniem jest więc po prostu

 
 
(5)

gdzie   i   są stałymi całkowania.

Podstawiając te rozwiązania do transformacji (2) otrzymuje się ruch fazowy wyrażony w zmiennych   i  

 
 
(6)

  stałych dowolnych można wyznaczyć z warunków początkowych

 
 
(7)

problem sprowadza się więc do znalezienia odpowiedniego przekształcenia.

Przyjmując, że przekształcenie to dane jest wzorem

 
 
(8)

gdzie warunkiem, aby było to przekształcenia kanoniczne, jest

 

i wykorzystując (5) otrzymujemy

 
 
(9)

Następnie, wykorzystując fakt, że dla transformacji (8) zmianę hamiltonianu opisuje wzór

 
(10)

można rozwinąć (3) do postaci

 
(11)

Wreszcie wstawiając (8) otrzymuje się równanie Hamiltona-Jacobiego[2]:

 
(12)

PrzypisyEdytuj

  1. W.I. Arnold: Metody matematyczne mechaniki klasycznej. Warszawa: PWN, 1981, s. 231–233. ISBN 83-01-00143-7.
  2. a b Wojciech Rubinowicz, Wojciech Królikowski: Mechanika teoretyczna. Warszawa: PWN, 1995, s. 204, 245–246, 253–255. ISBN 83-01-08635-1.