Równanie Pellarównanie diofantyczne postaci

Przykład równania Pella dla D=2

gdzie jest liczbą całkowitą dodatnią. Równanie to dla będącego kwadratem liczby całkowitej posiada jedynie rozwiązania oraz zaś dla niebędącego kwadratem liczby całkowitej posiada nieskończenie wiele rozwiązań.

Dla gdzie otrzymujemy równanie czyli co jak łatwo zauważyć faktycznie w liczbach całkowitych posiada jedynie rozwiązania oraz

Dla niebędącego kwadratem liczby całkowitej istnieje algorytm konstruujący nieskończenie wiele rozwiązań.

Znajdowanie rozwiązań

edytuj

Niech   będzie ciągiem ułamków łańcuchowych dla liczby   Sprawdzamy pary liczb   aż któraś z nich będzie spełniać równanie Pella, taki moment nastąpi o ile   nie jest kwadratem liczby całkowitej. Z tej pary liczb (oznaczmy ją jako  ) można wygenerować nieskończenie wiele innych (istotne jest to, że w tej parze   w przeciwnym razie jako parę początkową można by brać parę  ).

Zauważmy, że skoro   to   Oznaczmy przez   i   liczby spełniające równanie   Wówczas spełnione będzie równanie   gdyż współczynnik całkowity wyrażenia po lewej stronie pozostanie taki sam jak był, a współczynnik przy   jedynie zmieni znak. Zatem

 

Z pewnością pary   są parami różne (gdyż  ), a zatem istotnie dostajemy nieskończenie wiele różnych rozwiązań równania Pella.

Przykład

edytuj

Znajdźmy kilka rozwiązań równania Pella dla   Generowane ułamki łańcuchowe to   Już para   spełnia równanie   Mamy zatem  

Podnosimy więc do kolejnych potęg wyrażenie   Mamy zatem:

  •   faktycznie  
  •   faktycznie  

Bibliografia

edytuj

Linki zewnętrzne

edytuj
  • Eric W. Weisstein, Pell Equation, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang.).
  •   Pell equation (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-02-02].