Otwórz menu główne
Równanie jako element pomnika przed warszawskim Centrum Nowych Technologii Uniwersytetu Warszawskiego

Równanie Schrödingera – jedno z podstawowych równań nierelatywistycznej mechaniki kwantowej (obok równania Heisenberga), sformułowane przez austriackiego fizyka Erwina Schrödingera w 1926 roku. Równanie to pozwala opisać ewolucję stanu układu kwantowego w czasie w sposób znacznie dokładniejszy, niż czyni to mechanika klasyczna.

W nierelatywistycznej mechanice kwantowej równanie Schrödingera odgrywa rolę fundamentalną, analogiczną do roli zasad dynamiki Newtona w mechanice klasycznej[1].

Spis treści

Równanie Schrödingera zależne od czasuEdytuj

 
Trzy przykładowe stany oscylatora kwantowego obliczone z równania Schrödingera zależnego od czasu. Z lewej: Część rzeczywista (kolor niebieski) i część urojona (kolor czerwony) funkcji falowych   Z prawej: Rozkłady prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w zależności od położenia odpowiadające tym funkcjom falowym. Dwa górne rzędy pokazują stany stacjonarne – tworzą je funkcje falowe mające postać fal stojących, a odpowiadające im rozkłady prawdopodobieństwa są stałe w czasie; stany te są funkcjami własnymi hamiltonianu. Dolny rząd pokazuje stan niestacjonarny: jest on superpozycją dwu stanów własnych hamiltonianu; rozkład prawdopodobieństwa zmienia się w czasie.
 

gdzie:

 jednostka urojona,
  gdzie  stała Plancka
 operator Hamiltona (operator energii całkowitej układu, w skrócie nazywany hamiltonianem),
 wektor stanu układu.

Aby rozwiązać równanie Schrödingera dla danego układu kwantowego, należy znaleźć właściwą postać operatora Hamiltona oraz wyrazić wektor stanu w odpowiedniej reprezentacji. Poniżej omówiono dwie reprezentacje – położeniową i spinową.

Reprezentacja położeniowaEdytuj

Reprezentację położeniową wybiera się, gdy trzeba rozwiązać problem ruchu cząstek w przestrzeni. W tej reprezentacji równanie Schrödingera przyjmuje postać:

 

gdzie:

  – funkcja położenia i czasu zwana funkcją falową,
  – wektor położenia układu w przestrzeni konfiguracyjnej.

W przypadku pojedynczej cząstki przestrzeń konfiguracyjna jest przestrzenią fizyczną   Gdy układ składa się z   cząstek, to wektor   jest wektorem położenia układu w przestrzeni konfiguracyjnej   przy czym   jest wektorem położenia  -tej cząstki w przestrzeni fizycznej  

Z rozwiązania równania Schrödingera otrzymuje się funkcję falową   Kwadrat modułu funkcji falowej   określa prawdopodobieństwo, że układ znajdzie się w chwili   w stanie  

Przykłady hamiltonianu w tej reprezentacji omówiono w rozdziale Przykłady hamiltonianu.

Reprezentacja spinowaEdytuj

Gdy trzeba znaleźć zmiany czasowe stanów spinowych cząstek, to przyjmuje się reprezentację spinową; hamiltonian nie ma tu postaci pojedynczego operatora, ale jest operatorem o postaci macierzowej. Przykładowo, dla pojedynczej cząstki o spinie 1/2 hamiltonian ma postać macierzy 2x2

 

Np. w przypadku elektronu znajdującym się w zewnętrznym polu   magnetycznym część operatora Hamiltona odpowiadająca energii oddziaływania elektronu z polem magnetycznym ma postać

 

gdzie   jest wektorem złożonym z macierzy Pauliego. (Równanie o takim hamiltonianie zostało wprowadzone przez Pauliego i ściśle nazywa się je równaniem Pauliego.)

Równanie Schrödingera niezależne od czasuEdytuj

Jeżeli układ fizyczny oddziałuje z otoczeniem, to operator Hamiltona jest wyrażony przez pochodne względem     oraz   czyli   Mówi się, że hamiltonian zależy od czasu. Wtedy znalezienie opisu stanu układu kwantowego wymaga stosowania ogólnego równania Schrödingera.

Sytuacja upraszcza się, gdy układ jest odizolowany od otoczenia, gdyż wtedy jego całkowita energia nie zmienia się w czasie. Matematycznym wyrazem tego jest, że operator Hamiltona nie zależy jawnie od czasu, lecz jest wyrażony tylko przez pochodne względem   oraz   czyli   Wtedy wektor stanu przyjmuje postać iloczynu, zawierającego czynnik zależny od czasu i czynnik zależny tylko od położenia

 

gdzie:

  – energia układu,
  – część funkcji falowej niezależna od czasu.

Wstawiając powyższą postać funkcji falowej do równania ogólnego, otrzymuje się równanie Schrödingera niezależne od czasu

 

Teoretyczne obliczenie dyskretnych energiiEdytuj

Konieczność teoretycznego wprowadzenia kwantyzacji układów fizycznych na początku XX wieku wynikła z nowo odkrytych faktów doświadczalnych. Stwierdzono bowiem, że niektóre układy fizyczne nie przyjmują dowolnych wartości energii, a jedynie wartości dyskretne. Odkryto na przykład, że pojedyncze atomy dają dyskretne widmo promieniowania, ciała stałe emitują promieniowanie termiczne o tzw. rozkładzie ciała doskonale czarnego, które dało się wyjaśnić, jedynie przyjmując emisję promieniowanie w postaci dyskretnych porcji – fotonów; jony w ciałach stałych mają dyskretne energie, co ma wpływ na charakterystyczną wartość ich ciepła właściwego.

Schrödinger pokazał, że można teoretycznie obliczyć dyskretne wartości energii w przypadku stanów związanych układu. Mianowicie, jeżeli operator Hamiltona zapisze się w bazie jego stanów własnych, to niezależne od czasu równanie Schrödingera przybiera postać macierzową

 

gdzie   Równanie powyższe jest układem równań liniowych n-tego rzędu. Przekształcając je do postaci

 

widzimy, że układ ten ma rozwiązania niezerowe jedynie wtedy, gdy wyznacznik główny układu jest równy zero, tzn.

 

Powyższe równanie prowadzi do równania wielomianowego n-tego rzędu, które w przypadku macierzy hermitowskiej ma dokładnie   pierwiastków rzeczywistych   które są dyskretnymi wartościami energii.

Przykłady hamiltonianuEdytuj

Hamiltonian składa się z sumy operatorów energii kinetycznych cząstek układu oraz sumy energii potencjalnych, związanych z oddziaływaniami cząstek układu ze sobą i z polem zewnętrznym (np. polem elektromagnetycznym).

Cząstka o masie   w polu potencjalnymEdytuj

1) Hamiltonian pojedynczej cząstki jest sumą operatorów energii kinetycznej   i energii potencjalnej  

 

W przypadku cząstki nierelatywistycznej (tj. poruszającej się z prędkością znacznie mniejszą od prędkości światła,  ), oraz pozbawionej ładunku elektrycznego i spinu, operator energii kinetycznej ma postać:

 

gdzie:

  – masa cząstki,
  – operator pędu cząstki.

Działanie operatora energii potencjalnej   na funkcję falową oznacza po prostu mnożenie funkcji falowej przez potencjał   który w ogólności zależy od położenia   w przestrzeni oraz chwili czasu  

Operator Hamiltona ma więc postać

 

gdzie   – operator Laplace’a (tzw. laplasjan).

Operator Hamiltona ma więc tutaj postać operatora różniczkowego: działając na funkcję falową dokonuje jej różniczkowania i mnożenie przez stałą liczbę oraz mnożenia przez funkcję. Wstawiając postać operatora Hamiltona do ogólnego równania Schrödingera, otrzymuje się

 

Równanie to jest równaniem różniczkowym cząstkowym. Aby rozwiązać je, należy zadać:

  •   – masę cząstki,
  •   – postać energii potencjalnej cząstki.

W szczególności, gdy energia potencjalna ma symetrię sferyczną (np. dla atomu wodoru nie poddanemu działaniu zewnętrznych pól), rozwiązania mają postać zawierającą stowarzyszone wielomiany Legendre’a.

2) W przypadku, gdy hamiltonian nie zależy od czasu, energia całkowita cząstki jest stała w czasie (np. cząstka porusza się w potencjalnym polu sił niezależnym od czasu   lub jest odizolowana od otoczenia), to ogólne równanie Schrödingera upraszcza się do równania niezależnego od czasu:

 

gdzie:

  – nieznana energia całkowita układu,
  – nieznana funkcja zależna tylko od położenia  

Rozwiązanie powyższego równania daje różne możliwe wartości energii   oraz odpowiadające im postacie funkcji   zwanych stanami stacjonarnymi nie tylko ze względu na niezależność od czasu, ale też na niezależność od czasu rozkładów prawdopodobieństw. Np. dla elektronu poruszającego się w potencjale Coulomba otrzymuje się dozwolone, dyskretne wartości poziomów energii   i odpowiadające im stany stacjonarne   w zgodzie z widmem energii atomu wodoru.

Matematycznie równanie Schrödingera niezależne od czasu ma postać tzw. równania własnego energii. Dlatego otrzymane rozwiązania nazywamy też wartościami własnymi   oraz funkcjami własnymi   operatora Hamiltona.

Cząstka o masie   i ładunku   w polu elektromagnetycznymEdytuj

Jeżeli cząstka o ładunku   i masie spoczynkowej   porusza się w stałym polu elektrycznym   i stałym polu magnetycznym   to energia cząstki jest stała; można wtedy zagadnienie ruchu cząstki sprowadzić do rozwiązania równania Schrödingera bez czasu, które ma postać:

 

Np. elektron poruszający się w stałym polu elektrycznym i magnetycznym (przy czym pomijamy tu spin elektronu).

RozwiązaniaEdytuj

Analityczne rozwiązanie niezależnego od czasu równania Schrödingera jest możliwe tylko w najprostszych przypadkach. Jednak te najprostsze sytuacje pozwalają zapoznać się wstępnie z naturą zjawisk kwantowych. Niejednokrotnie też przypadki te są dobrym przybliżeniem bardziej złożonych zjawisk.

Najbardziej typowe układy, które można rozwiązać analitycznie, to np.

Dla wielu układów (np. wielu orbitali atomowych) nie istnieje rozwiązanie analityczne. W takich przypadkach stosuje się przybliżone metody rozwiązywania równań różniczkowych, wśród których najpopularniejsze to:

Prąd prawdopodobieństwaEdytuj

Równanie Schrödingera zapewnia lokalne zachowanie prawdopodobieństwa. Dla przykładu rozważymy pojedynczą cząstkę, której stan   ma postać krzywej dzwonowej Gaussa zajmującej niewielki obszar w przestrzeni i poruszającej się z prędkością   w prawo. Oznacza to, że z upływem czasu miejsce największego prawdopodobieństwa znalezienia cząstki przesuwa się w prawo. Ruch ten opisuje się, wprowadzając wektor gęstości prądu prawdopodobieństwa. Można tu zauważyć analogię do przepływu np. cieczy lub prądu elektrycznego.

Gęstości prądu prawdopodobieństwa definiuje się następująco:

 

Jednostką   w układzie SI jest [prawdopodobieństwo)/(powierzchnia*czas)] = [m−2s−1]. Gęstość prądu prawdopodobieństwa spełnia równanie ciągłości (analogicznie jak płynąca ciecz)

 

gdzie   – gęstość prawdopodobieństwa mierzoną w jednostkach [prawdopodobieństwo)/(objętość] = [m−3]. Równanie ciągłości wyraża lokalną zasadę zachowania prawdopodobieństwa: jeśli prawdopodobieństwo zmniejsza się w pobliżu punktu   to przepływa do sąsiednich obszarów, podobnie jak przepływałaby ciecz; przepływ ten jest opisany za pomocą prądu  

Np. niech cząstka o masie   poruszająca się z prędkością   w kierunku osi   ma funkcję falowa w postaci fali płaskiej:

 

gdzie   jest pędem cząstki skierowanym wzdłuż osi   Obliczając gęstość prądu prawdopodobieństwa, otrzymamy

 

co oznacza, że prąd prawdopodobieństwa jest stałym wektorem, takim samym dla różnych położeń i chwil czasu (czyli prawdopodobieństwo przepływa jednorodnie w czasie i przestrzeni – w kierunku osi x).

Obliczając gęstość prawdopodobieństwa, otrzymamy

 

tzn. rozkład prawdopodobieństwa jest stały w czasie i przestrzeni, a więc cząstka może więc znajdować się w dowolnym położeniu z jednakowym prawdopodobieństwem. Obliczając dywergencję przestrzenną prądu   oraz pochodną po czasie gęstości   otrzymamy

 

a więc równanie ciągłości jest spełnione.

Znaczenie równaniaEdytuj

  • Funkcja falowa będąca rozwiązaniem równania Schrödingera jest funkcją o wartościach zespolonych. Nie jest oczywista jej interpretacja fizyczna. Niemiecki fizyk Max Born w roku 1926 podał interpretację, która stała się standardową interpretacją: kwadrat modułu funkcji falowej jest gęstością prawdopodobieństwa znalezienia cząstki (układu) w danym położeniu, w danej chwili.
  • W ujęciu abstrakcyjnym funkcja falowa   reprezentuje stan kwantowy układu fizycznego w przestrzeni Hilberta w reprezentacji położeniowej. Jako poprawne rozwiązania dopuszcza się funkcje całkowalne z kwadratem, tzn. takie że
 

Funkcje o tej własności można unormować do 1 oraz nadać sens gęstości prawdopodobieństwa kwadratom ich modułów.

  • Równanie Schrödingera jest równaniem nierelatywistycznym, nie uwzględnia kreacji ani anihilacji cząstek, a pominięcie promieniowania sprawia, że np. wzbudzone stany atomu wodoru są rozwiązaniami stacjonarnymi, mimo że w rzeczywistości jest to prawdą tylko w przybliżeniu[2]. Wiemy bowiem, że wodór emituje charakterystyczne linie promieniowania po wzbudzeniu na wyższe stany energii. Znane są relatywistycznie niezmiennicze równania mechaniki kwantowej, np. równanie Kleina-Gordona (słuszne dla cząstek o zerowym spinie, np. pionów) i równanie Diraca (słuszne dla cząstek mających spin 1/2, np. elektrony).
  • Równanie Schrödingera dla fotonu składa się z hamiltonianu, który zamiast operatora Laplace’a ma operator pędu zrzutowany na wektor spinu o długości 1. Funkcja falowa fotonu nie jest ani skalarną funkcją zespoloną, ani spinorem, ale jest wektorem Riemanna-Silbersteina.
  • Równanie Schrödingera jest podstawą jednego z trzech równoważnych sformułowań mechaniki kwantowej. Jedno z nich to mechanika macierzowa (historycznie pierwsza) sformułowana przez Wernera Heisenberga. Trzecim jest sformułowanie mechaniki kwantowej w języku całek po trajektoriach (są to całki funkcjonalne, czyli całki z funkcjonału), której autorem jest Richard Feynman.
  • Równanie Schrödingera jest także podstawą współczesnej chemii. Wszelkie własności atomów i molekuł można otrzymać, rozwiązując stosowne dla nich równania Schrödingera, z użyciem komputerów o wielkich mocach obliczeniowych. Fakt ten jest kluczowym argumentem przemawiającym za redukcjonizmem, tj. poglądem, że chemię można zredukować do fizyki.

Problem interpretacji mechaniki kwantowejEdytuj

Aparat matematyczny mechaniki kwantowej pozwala obliczać z niezwykłą dokładnością wielkości, które mierzy się w eksperymentach dla różnych układów kwantowych, a także pozwala przewidywać właściwości układów których nie otrzymano jeszcze w laboratoriach. Dzięki temu np. można bez potrzeby wcześniejszego wytwarzania obliczać właściwości materiałów i tak dobierać ich skład, aby uzyskać pożądane cechy.

Obok ogromnego sukcesu mechaniki kwantowej w powyższym względzie istnieją jednak nierozwiązane kwestie teoretyczne, w tym brak jednoznacznej odpowiedzi na podstawowe pytanie o rozumienie roli pomiaru oraz sens ontologiczny funkcji falowej. Bezsprzecznie przyjmuje się, że kwadrat modułu funkcji falowej   określa prawdopodobieństwo, że układ znajdzie się w chwili   w stanie   Jednak problematyczne jest czy układy fizyczne istnieją niezależnie od funkcji falowej czy też istnieje tylko funkcja falowa.

Według Kopenhaskiej interpretacji mechaniki kwantowej istnieje jedynie funkcja falowa; pomiar, wykonany na układzie przez fizyka powoduje kolaps funkcji falowej, co fizycznie oznacza lokalizację układu w konkretnym położeniu; do momentu pomiaru układ nie posiada żadnego położenia. Szczególna rola eksperymentatora prowadzi do paradoksów (np. paradoks kota Schrödingera).

W interpretacji de Broglie’a-Bohma jest inaczej: zakłada się, że układ kwantowy zajmuje w każdej chwili czasu unikalne położenie   funkcja falowa pełni zaś rolę pola, mającego jedynie wpływ na ruch układu. Pomiar w tym ujęciu jest jednym z wielu oddziaływań, jakie zachodzą nieustannie między różnymi układami.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. E. Schrödinger. An Undulatory Theory of the Mechanics of Atoms and Molecules. „Physical Review”. 28 (6). s. 1049–1070. Bibcode1926PhRv...28.1049S (ang.). [dostęp 2015-02-14]. 
  2. Eyvind H. Wichmann: Fizyka kwantowa. Warszawa: PWN, 1973, s. 293, 345.

BibliografiaEdytuj

  • Schrödinger E., Quantisierung als Eigenwertproblem I, „Annalen der Physik” nr 79 (1926), s. 361–376.
  • Schrödinger E., Quantisierung als Eigenwertproblem II, „Annalen der Physik” nr 79 (1926), s. 489–527.
  • Schrödinger E., Quantisierung als Eigenwertproblem III, „Annalen der Physik” nr 80 (1926), s. 734–756.
  • Schrödinger E., Quantisierung als Eigenwertproblem IV, „Annalen der Physik” nr 81 (1926), s. 109–139.