Równanie algebraiczne

Równanie algebraicznerównanie w postaci gdzie jest wielomianem stopnia jednej lub wielu zmiennych

Np. równanie algebraiczne jednej zmiennej ma postać

gdzie:

liczba całkowita nieujemna,
– elementy pewnego ciała, nazywanymi współczynnikami równania,
– zmienna (niewiadoma, poszukiwane rozwiązanie równania).

Zakłada się, że współczynniki równania algebraicznego nie są wszystkie równe zero.

Stopniem równania nazywa się największą liczbę naturalną dla której

Klasyfikacja równańEdytuj

Pojęcie pierwiastków równaniaEdytuj

Pierwiastkami lub rozwiązaniami równania nazywa się wartości niewiadomej   które spełniają równanie (to znaczy po podstawieniu ich w miejsce   zamieniają równanie w tożsamość); są one jednocześnie pierwiastkami wielomianu  

Co znaczy rozwiązać równanie?Edytuj

Rozwiązać równanie algebraiczne w ciele   znaczy znaleźć wszystkie jego pierwiastki będące elementami ciała  

Zazwyczaj bierze się takie ciało   które zawiera wszystkie współczynniki równania. Np. jeżeli wszystkie współczynniki są rzeczywiste, to można rozwiązywać równanie w ciele liczb rzeczywistych, a można też w ciele liczb zespolonych (ponieważ każda liczba rzeczywista jest również liczbą zespoloną).

TwierdzeniaEdytuj

Tw. 1 (tzw. zasadnicze twierdzenie algebry)

Każde równanie algebraiczne z zespolonymi współczynnikami (z wyjątkiem równania ze stałą częścią lewą) ma co najmniej jeden pierwiastek zespolony.

Tw. 2 Równanie stopnia nie wyższego niż czwarty zawsze można rozwiązać, przy czym pierwiastki mają postać skończonych wyrażeń matematycznych, które

a) zawierają współczynniki danego równania

b) zawierają wyłącznie operacje dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia, potęgowania, pierwiastkowania.

Tw. 3 (twierdzenie Abela-Ruffiniego)

Dla równań stopnia wyższego niż czwarty w przypadku ogólnym powyżej opisane metody nie mogą istnieć.

Dla rozwiązywania równań stopnia wyższego niż czwarty często są potrzebne przybliżone metody numeryczne.

Zobacz teżEdytuj