Równanie ciągłości

Równanie ciągłości – matematyczny zapis w postaci równania opisujący zmianę rozkładu wielkości fizycznej w ośrodku ciągłym. Szczególnie prostą formę przyjmuje dla wielkości spełniającej prawo zachowania. Np. wyraża zasadę zachowania ładunku, zasadę zachowania masy, a nawet zasadę zachowania prawdopodobieństwa.

Istotne jest, że równanie ciągłości wyraża lokalną zasadę zachowania, tzn. jeśli w infinitezymalnym obszarze maleje dana substancja (ładunek, masa, prawdopodobieństwo), to substancja ta nie pojawia się w miejscu dowolnie odległym od tego obszaru, ale wypływa (w postaci prądu) przez powierzchnię, otaczającą ten obszar.

Równanie ciągłości w postaci różniczkowej

Równanie ciągłości w postaci różniczkowej dla wielkości zachowawczej ma postać:

$\nabla \cdot {\boldsymbol {j}}=-{\frac {\partial \rho }{\partial t}},$

czyli

${\frac {\partial j_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial j_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial j_{z}}{\partial z}}=-{\frac {\partial \rho }{\partial t}},$

tzn. dywergencja gęstości prądu ${\boldsymbol {j}}=(j_{x},j_{y},j_{z})$ danej substancji jest równa prędkości zmniejszania się gęstości ładunku $\rho$ w tej substancji.

Np.

${\boldsymbol {j}}$ – gęstość prądu elektrycznego,

$\rho$ – gęstości ładunku elektrycznego.

Pojęcia gęstość prądu substancji oraz gęstość substancji są definiowane analogicznie do gęstości prądu elektrycznego oraz gęstości ładunku elektrycznego.

Poglądowe objaśnienie równania ciągłości

Jeżeli w powyższym wzorze zamiast pochodnych wstawi się ilorazy różnicowe

${\frac {\Delta j_{x}}{\Delta x}}+{\frac {\Delta j_{y}}{\Delta y}}+{\frac {\Delta j_{z}}{\Delta z}}=-{\frac {\Delta \rho }{\Delta t}},$

to można poglądowo wytłumaczyć sens równania ciągłości: Jeśli z danego obszaru więcej prądu wypływa niż do niego wpływa, czyli np.

$\Delta j_{x}=j_{x+\Delta x}-j_{x}>0,$

to różnica między gęstością ładunku w tym obszarze w chwili późniejszej i wcześniejszej jest ujemna

$\Delta \rho =\rho _{t+\Delta t}-\rho _{t}<0,$

co oznacza, że gęstość ładunku maleje w tym obszarze.

Równania ciągłości relatywistyczne

Postać relatywistyczna równania ciągłości

Oznaczając współrzędne czterowektora położenia

$x^{0}=ct,\,\,x^{1}=x,\,\,x^{2}=y,\,\,x^{3}=z$

oraz stosując definicję czterowektora gęstości prądu elektrycznego (lub czterowektora gęstości prądu dowolnej innej substancji), tj. przyjmując

$j^{0}=c\rho ,\;j^{1}=j_{x},\;j^{2}=j_{y},\;j^{3}=j_{z}$

z wcześniejszej wersji równania ciągłości otrzyma się

${\frac {\partial j^{0}}{\partial x^{0}}}+{\frac {\partial j^{1}}{\partial x^{1}}}+{\frac {\partial j^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial j^{3}}{\partial x^{3}}}=0$

lub, po zastosowaniu konwencji sumacyjnej Einsteina

${\frac {\partial j^{\mu }}{\partial x^{\mu }}}=0,$

gdzie $\mu =0,1,2,3.$

Zasada lokalnego zachowania substancji wyrażona poprzez równanie ciągłości oznacza więc, że:

Jeżeli dana substancja jest zachowana lokalnie, to

czterodywergencja prądu ${\frac {\partial j^{\mu }}{\partial x^{\mu }}}$ tej substancji zeruje się.

Znaczenie postaci relatywistycznej

Znaczenie zapisania równania ciągłości w postaci relatywistycznie niezmienniczej, tj. za pomocą 4-wektora prądu oraz 4-dywergencji jest następujące:

Jeżeli dana substancja spełnia równanie ciągłości według jakiegoś obserwatora, to będzie spełniać to równanie według dowolnego obserwatora, poruszającego się względem niego.

Tzn. obserwator ten sformułuje równanie ciągłości w analogicznej postaci

${\frac {\partial j^{'\mu }}{\partial x^{'\mu }}}=0,$

gdzie:

$j^{'\mu }$ – 4-prąd, mierzony przez tego obserwatora,

$x^{'\mu }$ – 4-wektor położenia w układzie tego obserwatora.

Przykład: Zasada zachowania masy

W dynamice płynów lokalną zasadę zachowania masy wyraża wzór

${\frac {\partial \varrho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\varrho {\boldsymbol {u}})=0,$

gdzie:

$\varrho$ – gęstość płynu,

${\boldsymbol {u}}$ – prędkość płynu,

$t$ – czas,

przy czym

${\boldsymbol {j}}=\varrho {\boldsymbol {u}}$

– gęstość prądu masy.

Równanie ciągłości w postaci całkowej

Równanie ciągłości może być również zapisane w postaci całkowej

$\int _{V}\!\!\!\nabla \cdot {\boldsymbol {j}}\,\mathrm {d} V=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{V}\rho \mathrm {d} V.$

Bibliografia

• David J. Griffiths, Podstawy elektrodynamiki, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006.