Otwórz menu główne

Rys historycznyEdytuj

W 1540 r. Lodovico Ferrari odkrył ogólną metodę redukcji równań czwartego stopnia do równań sześciennych. Razem z metodą rozwiązywania tych ostatnich opracowaną wcześniej przez Scipione del Ferra i Niccola Tartaglię pozwalało to rozwiązać wszystkie typy równań stopnia 4. Wyniki te zostały opublikowane przez Girolama Cardana w Ars Magna w 1545.

Najprostsze przypadki równańEdytuj

W pewnych przypadkach równanie

 
(1)

można rozwiązać prostszymi metodami.

Równanie dwukwadratoweEdytuj

Jeśli   czyli gdy (1) jest postaci

 
(1a)

to jest to równanie dwukwadratowe (bikwadratowe). Aby je rozwiązać, trzeba podstawić  

Wówczas otrzymuje się równanie kwadratowe   które rozwiązuje się, używając formuły kwadratowej.

Równanie zwrotneEdytuj

Jeśli   oraz   czyli gdy (1) jest postaci

 
(1b)

to równanie jest równaniem zwrotnym. Rozwiązuje się je, dzieląc obie strony równania przez   i otrzymując

 

Podstawiając   otrzymuje się   i równanie kwadratowe:

 

z którego oblicza się   a potem wyznacza się  

Równanie ze znanym jednym z pierwiastkówEdytuj

Jeśli znajdzie się jeden pierwiastek   równania (1), to można na mocy twierdzenia Bézouta podzielić wielomian   przez   redukując równanie wyjściowe do równania trzeciego stopnia. Rozwiązując to równanie, można znaleźć wszystkie rozwiązania równania (1).

Redukcja równania ogólnegoEdytuj

Równanie (1) jest redukowalne do postaci

 
(2)

Wyjściowe równanie należy podzielić obustronnie przez   otrzymując:

 
(3)

Następnie stosuje się podstawienie   prowadzące do:

 
 
(4)

Po wymnożeniu otrzymuje się:

 
 
 
 
(5)

a po uporządkowaniu zmiennych względem wykładników potęgowych równanie przybiera postać:

 
 
(6)

Jeśli oznaczy się jako

 
 
 

to równanie (1) zostało sprowadzone do postaci:

 
(2)

Tę redukcję można wykonać, stosując schemat Hornera, ponieważ   i więc poszukiwanie współczynników odpowiedniego wielomianu z   to faktycznie rozkładanie wielomianu względem potęg dwumianu  

Rozwiązywanie równania zredukowanegoEdytuj

Równanie zredukowane można rozwiązać analitycznie na kilka sposobów:

Metoda Descartes’a-EuleraEdytuj

Metoda Descartes’a-Eulera polega na rozwiązywaniu równań postaci

 
(2)

dla   (równanie nie jest dwukwadratowe).

Znajdowanie jednego pierwiastkaEdytuj

Wprowadza się trzy zmienne   spełniające równanie

 

Wówczas

 

a stąd

 
 

Mnożąc obie strony (2) przez 16 i podstawiając wyrażenia na   dane przez powyższe równania, otrzymuje się:

 
 
 
 
(7)

Każda trójka liczb   spełniająca równanie (7) daje rozwiązanie   równania (2). Jeśli liczby   spełniają równania

 
(8)
 
(9)
 
(10)

to spełniają one również równanie (7). Jeśli równanie (8) przekształci się do

 
(11)

to układ równań (9)-(11) jest wzorem Viète’a dla pewnego równania sześciennego. Używając metod na rozwiązywanie równań trzeciego stopnia, znajduje się pierwiastki   „równania rozwiązującego”:

 
(12)

Niech

  •   będzie jednym z dwóch pierwiastków kwadratowych z liczby  
  •   będzie jednym z dwóch pierwiastków kwadratowych z liczby   a
  •   będzie tym z dwóch pierwiastków kwadratowych z liczby   przy którym będzie spełnione równanie (8) powyżej (ponieważ   to   i liczba ta ma dwa różne pierwiastki różniące się znakiem). Wówczas liczby   spełniają równania (8)-(10), więc również równanie (7). Otrzymuje się zatem rozwiązanie równania (2):
 

Znajdowanie wszystkich pierwiastkówEdytuj

„Równanie rozwiązujące”

 
(12)

ma pierwiastki  

Następnie wyznacza się liczby   tak że       oraz  

Wówczas liczby   spełniają równania (8)-(10), a zatem również równanie (7). Otrzymuje się więc

 

oraz

 

a stąd

 
 
 
(13)

Skoro

 
 
 
 
 

to dla ostatniej równości używa się równań (13) oraz   więc otrzymuje się równanie:

 
 

więc liczby

     
     

spełniają równanie (2). Są to wszystkie pierwiastki tego równania.

Równanie (2) ma 4 różne pierwiastki rzeczywiste wtedy i tylko wtedy, gdy równanie (12) ma 3 różne pierwiastki rzeczywiste.

Dowód
Na mocy użytych wcześniej równań otrzymuje się
 

gdzie nadal   są pierwiastkami równania (12).

Metoda FerrariegoEdytuj

Równanie (2) przekształca się do

 

a następnie

 
(14)

Wprowadzamy nową niewiadomą   Dodając do wyrażenia w nawiasie równania (14) po lewej stronie   można zapisać

 
 
 
(15)

czyli

 
(16)

Aby po obu stronach powyższego równania były pełne kwadraty, należy wybrać liczbę   tak aby wyróżnik wielomianu po prawej stronie był zerowy:

 
(17)

Równanie (17) można zapisać w postaci równania trzeciego stopnia względem  

 
(18)

które można rozwiązać metodami del Ferro i Tartaglii. Zatem przy   będącym rozwiązaniem tego równania, wyrażenie

 

jest pełnym kwadratem i równanie (2) zostaje zredukowane do:

 

Powyższe równanie jest więc redukowalne do równań kwadratowych (wystarczy skorzystać ze wzoru na różnicę kwadratów):

 

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj