Równanie diofantyczne

równanie o niewiadomych całkowitych

Równanie diofantycznerównanie postaci:

gdzie jest -argumentową funkcją i którego rozwiązania szuka się w dziedzinie liczb całkowitych lub rzadziej wymiernych[1]. Jeżeli jest wielomianem ze współczynnikami całkowitymi, to takie równanie nazywamy algebraicznym równaniem diofantycznym[2].

Przykłady równań diofantycznychEdytuj

  • Równanie   dla   równanie to obrazuje zależność między długościami boków w trójkącie prostokątnym (zobacz: trójki pitagorejskie). Dla   równanie to nie ma rozwiązań – jest to treść wielkiego twierdzenia Fermata.
  • Równanie   (  są dane) jest równaniem diofantycznym liniowym. Ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy największy wspólny dzielnik liczb   i   dzieli  
  • Równanie   ma w liczbach naturalnych jedno rozwiązanie: (3,3).
  • Równanie   ma w liczbach naturalnych dwa rozwiązania, gdy     oraz  
  • Równanie     zwane równaniem Pella (od nazwiska angielskiego matematyka Johna Pella; sam Pell nie zajmował się takimi równaniami) – jeżeli   jest kwadratem liczby naturalnej, to równanie nie ma rozwiązań, jeżeli zaś nie jest, ma ich ono nieskończenie wiele. Rozwiązania te tablicuje się w zależności od  
  • Równanie   jest warunkiem istnienia tzw. pętli pierwszego stopnia w ciągu Collatza-Ulama. Ma ono tylko jedno rozwiązanie dla     oraz   które odpowiada występowaniu pętli trywialnej w tym ciągu.

Typowe problemyEdytuj

Badając dane równanie diofantyczne, staramy się przede wszystkim odpowiedzieć na następujące pytania[2]:

  • Czy ma ono rozwiązania?
  • Jeśli tak, to ile ich jest (skończenie, czy nieskończenie wiele)?
  • Czy istnieje algorytm na ich wyznaczanie?

W przypadku wielu prostych równań te i inne pytania pozostawały bez odpowiedzi przed długie lata, a próby znalezienia ich częstokroć prowadziły do głębokich badań i rozwoju nowych teorii matematycznych. Klasycznym przykładem jest wielkie twierdzenie Fermata, które pozostawało bez dowodu przez blisko 350 lat.

Ogólna charakterystykaEdytuj

Jednym z podstawowych problemów teorii równań diofantycznych jest znalezienie efektywnych sposobów wyznaczenia rozwiązań danego równania. Okazało się, że nie istnieje algorytm, który w każdym przypadku prowadziłby do rozwiązania równania diofantycznego. Znane są tylko algorytmy rozwiązywania równań liniowych i kwadratowych wielu zmiennych oraz pewnych szczególnych przypadków równań wyższych stopni.

Często nie potrafimy odpowiedzieć na podstawowe pytania: czy dane równanie diofantyczne ma choć jedno rozwiązanie, czy liczba tych rozwiązań jest skończona, czy jest ich nieskończenie wiele?

Stale używanym narzędziem teorii równań diofantycznych (i w ogóle w teorii liczb) jest stworzona przez Gaussa teoria kongruencji. Kongruencja to przystawanie liczb „modulo  ”: liczby   i   przystają modulo   jeżeli ich różnica   dzieli się bez reszty przez   co zapisuje się:  

Klasycznym przykładem równania diofantycznego, rozwiązanego przez samego Diofantosa (to od jego nazwiska ukuto nazwę tego działu matematyki; Diofantosa interesowały rozwiązania w liczbach wymiernych, a nie naturalnych), jest problem trójkątów pitagorejskich. Szukamy rozwiązań w liczbach naturalnych równania:   Przykładowe rozwiązania to następujące trójki pitagorejskie: (3, 4, 5), (5, 12, 13),... Rozwiązania niebędące wielokrotnościami innych rozwiązań to tzw. „rozwiązania właściwe” lub trójkąty pitagorejskie, właściwe. Nieskończoną serię takich rozwiązań uzyskała już szkoła Pitagorasa.

Wszystkie rozwiązania właściwe równania Pitagorasa w liczbach naturalnych   można uzyskać ze wzorów podanych przez Diofantosa:       gdzie     to liczby naturalne, przy czym   Jeśli   i  względnie pierwsze, o różnej parzystości, to uzyskuje się rozwiązania właściwe. W ten sposób można uzyskać wszystkie rozwiązania właściwe.

Liczby zespolone pozwalają określić trójkąt pitagorejski jako   gdzie   jest liczbą zespoloną, o całkowitej części rzeczywistej i urojonej, i o całkowitym module  

Istnieje też geometryczna konstrukcja Vogelera umożliwiająca znajdowanie trójkątów pitagorejskich, ale nie ma znaczenia praktycznego. Sposób Vogelera pozwala również skonstruować wszystkie ułamki pitagorejskie: każda znaleziona trójka pitagorejska generuje trzy następne.

Metody rozwiązywaniaEdytuj

Podstawowe metodyEdytuj

Metoda dekompozycjiEdytuj

Polega na przekształceniu równania z postaci[3]:

 

do postaci:

 

gdzie   i  

Następnie liczbę   rozkładamy na   czynników pierwszych. Każdy taki rozkład daje układ równań postaci:

 

Suma zbioru rozwiązań tych układów daje zbiór rozwiązań równania  

PrzykładEdytuj

Rozważmy równanie:

 

I przekształćmy je w następujący sposób:

 
 

Odpowiada to dwóm możliwościom:

 
 

co daje rozwiązanie:  lub  

Rozwiązania z wykorzystaniem nierównościEdytuj

Metoda polega na ograniczeniu przestrzeni potencjalnych rozwiązań równania do skończonego zbioru[4].

PrzykładEdytuj

Szukamy wszystkich par liczb całkowitych   spełniających równanie:

 

Po pierwsze, rozwiązaniem powyższego równania są wszystkie pary postaci   Teraz rozważmy takie rozwiązania, że   wtedy równanie możemy podzielić obustronnie przez  

 

i przekształcić do postaci:

 

Z tego wynikają nierówności   i   ograniczające położenie niewiadomych   do przedziału   Ponieważ rozpatrujemy rozwiązania w dziedzinie liczb całkowitych, daje to dziewięć potencjalnych rozwiązań. Poprzez sprawdzenie każdej możliwości z osobna możemy pokazać, że rozwiązaniami są pary:          

Metoda parametrycznaEdytuj

W niektórych przypadkach zbiór rozwiązań równania   można opisać jako:

 

gdzie   -argumentowymi funkcjami o wartościach całkowitych i   Metoda parametryczna jest często wykorzystywana w sytuacjach, gdy nie jest możliwe pokazanie explicite wszystkich rozwiązań równania, ponieważ jest ich nieskończenie wiele[5].

PrzykładEdytuj

Określić w podanej wyżej postaci nieskończenie wiele rozwiązań poniższego równania:

 

Rozważmy podzbiór rozwiązań takiej postaci, że   w ten sposób otrzymujemy równanie:

 

Biorąc   i     powyższe równanie jest spełnione. W ten sposób otrzymujemy rodzinę rozwiązań w postaci:

 
 
 

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

BibliografiaEdytuj

  • Titu Andreescu, Dorin Andrica, Ion Cucurezeanu: An Introduction to Diophantine Equations. A Problem-Based Approach. Birkhäuser, 2010. ISBN 978-0-8176-4548-9.