Otwórz menu główne

Równanie diofantyczne

Równanie diofantycznerównanie postaci:

gdzie jest -argumentową funkcją i którego rozwiązania szukamy w dziedzinie liczb całkowitych. Jeżeli jest wielomianem ze współczynnikami całkowitymi, to takie równanie nazywamy algebraicznym równaniem diofantycznym[1].

Przykłady równań diofantycznychEdytuj

  • Równanie   dla   równanie to obrazuje zależność między długościami boków w trójkącie prostokątnym (zobacz: trójki pitagorejskie). Dla   równanie to nie ma rozwiązań – jest to treść wielkiego twierdzenia Fermata.
  • Równanie   (  są dane) jest równaniem diofantycznym liniowym. Ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy największy wspólny dzielnik liczb   i   dzieli  
  • Równanie   ma w liczbach naturalnych jedno rozwiązanie: (3,3).
  • Równanie   ma w liczbach naturalnych dwa rozwiązania, gdy     oraz  
  • Równanie     zwane równaniem Pella (od nazwiska angielskiego matematyka Johna Pella; sam Pell nie zajmował się takimi równaniami) – jeżeli   jest kwadratem liczby naturalnej, to równanie nie ma rozwiązań, jeżeli zaś nie jest, ma ich ono nieskończenie wiele. Rozwiązania te tablicuje się w zależności od  
  • Równanie   jest warunkiem istnienia tzw. pętli pierwszego stopnia w ciągu Collatza-Ulama. Ma ono tylko jedno rozwiązanie dla     oraz   które odpowiada występowaniu pętli trywialnej w tym ciągu.

Typowe problemyEdytuj

Badając dane równanie diofantyczne, staramy się przede wszystkim odpowiedzieć na następujące pytania[1]:

  • Czy ma ono rozwiązania?
  • Jeśli tak, to ile ich jest (skończenie, czy nieskończenie wiele)?
  • Czy istnieje algorytm na ich wyznaczanie?

W przypadku wielu prostych równań te i inne pytania pozostawały bez odpowiedzi przed długie lata, a próby znalezienia ich częstokroć prowadziły do głębokich badań i rozwoju nowych teorii matematycznych. Klasycznym przykładem jest wielkie twierdzenie Fermata, które pozostawało bez dowodu przez blisko 350 lat.

Metody rozwiązywaniaEdytuj

Podstawowe metodyEdytuj

Metoda dekompozycjiEdytuj

Polega na przekształceniu równania z postaci[2]:

 

do postaci:

 

gdzie   i  

Następnie liczbę   rozkładamy na   czynników pierwszych. Każdy taki rozkład daje układ równań postaci:

 

Suma zbioru rozwiązań tych układów daje zbiór rozwiązań równania  

PrzykładEdytuj

Rozważmy równanie:

 

I przekształćmy je w następujący sposób:

 
 

Odpowiada to dwóm możliwościom:

 
 

co daje rozwiązanie:  lub  

Rozwiązania z wykorzystaniem nierównościEdytuj

Metoda polega na ograniczeniu przestrzeni potencjalnych rozwiązań równania do skończonego zbioru[3].

PrzykładEdytuj

Szukamy wszystkich par liczb całkowitych   spełniających równanie:

 

Po pierwsze, rozwiązaniem powyższego równania są wszystkie pary postaci   Teraz rozważmy takie rozwiązania, że   wtedy równanie możemy podzielić obustronnie przez  

 

i przekształcić do postaci:

 

Z tego wynikają nierówności   i   ograniczające położenie niewiadomych   do przedziału   Ponieważ rozpatrujemy rozwiązania w dziedzinie liczb całkowitych, daje to dziewięć potencjalnych rozwiązań. Poprzez sprawdzenie każdej możliwości z osobna możemy pokazać, że rozwiązaniami są pary:          

Metoda parametrycznaEdytuj

W niektórych przypadkach zbiór rozwiązań równania   można opisać jako:

 

gdzie   -argumentowymi funkcjami o wartościach całkowitych i   Metoda parametryczna jest często wykorzystywana w sytuacjach, gdy nie jest możliwe pokazanie explicite wszystkich rozwiązań równania, ponieważ jest ich nieskończenie wiele[4].

PrzykładEdytuj

Określić w podanej wyżej postaci nieskończenie wiele rozwiązań poniższego równania:

 

Rozważmy podzbiór rozwiązań takiej postaci, że   w ten sposób otrzymujemy równanie:

 

Biorąc   i     powyższe równanie jest spełnione. W ten sposób otrzymujemy rodzinę rozwiązań w postaci:

 
 
 

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

BibliografiaEdytuj

  • Titu Andreescu, Dorin Andrica, Ion Cucurezeanu: An Introduction to Diophantine Equations. A Problem-Based Approach. Birkhäuser, 2010. ISBN 978-0-8176-4548-9.