Otwórz menu główne

Równanie kwadratowe

Ten artykuł dotyczy równań kwadratowych i ich rozwiązań. Zobacz też: funkcja kwadratowa, gdzie opisano wielomiany kwadratowe w szerszym kontekście.
Wykres funkcji kwadratowej zmiennej rzeczywistej przy zmianie różnych współczynników

Równanie kwadratowerównanie algebraiczne z jedną niewiadomą w drugiej potędze i opcjonalnie niższych. Innymi słowy równanie wielomianowe drugiego stopnia, czyli równanie postaci

gdzie są jego współczynnikami rzeczywistymi, zespolonymi bądź są elementami dowolnego ciała. Zakłada się, że dzięki czemu równanie nie degeneruje się do równania liniowego. Współczynniki niekiedy nazywane są kolejno: kwadratowym, liniowym i stałym (bądź wyrazem wolnym).

Inną nazwą równania kwadratowego jest równanie drugiego stopnia.

RozwiązaniaEdytuj

Zobacz też: równaniewielomian.

Rozwiązaniem równania kwadratowego

 

nazywa się każdą liczbę, która podstawiona w miejsce   daje po wykonaniu wszystkich działań równość. Jeżeli przedstawić powyższe równanie w postaci iloczynowej, tzn.

 

dla pewnych liczb   to jego rozwiązaniem jest dowolna z liczb   gdyż podstawiona zamiast   sprawia, że lewa strona równości jest równa zeru.

W szczególności może być   wówczas postacią iloczynową równania wyjściowego jest

 

WyróżnikEdytuj

Zobacz też: wyróżnik.

Ponieważ

 

(piąta równość zachodzi na podstawie wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów), to pierwiastkami tego wielomianu są wielkości

 

oraz

 

Wyrażenie

 

nazywa się wyróżnikiem równania kwadratowego. W szczególności jeżeli   to

 

Powyższe równości są prawdziwe w dziedzinie zespolonej – w szczególności, gdy   to

 

gdzie   jest jednostką urojoną, a wyrażenie pod pierwiastkiem po prawej stronie jest dodatnią wielkością rzeczywistą. Wtedy też równanie ma dwa sprzężone ze sobą rozwiązania zespolone, których część rzeczywista wynosi   Jeżeli   to rozwiązaniami są liczby rzeczywiste symetryczne względem   Przypadki dla   można podsumować zdaniem: średnia arytmetyczna pierwiastków wynosi   (por. wzory Viète’a).

 
Przykłady różnych znaków wyróżnika:
<0: x2 + 12
=0: −43x2 + 43x13
>0: 32x2 + 12x43

Równanie kwadratowe ma rozwiązanie w dziedzinie rzeczywistej, o ile   Dokładniej, jeśli:

  •   to równanie ma dwa rozwiązania rzeczywiste (dwa pierwiastki rzeczywiste),
  •   to równanie ma jedno rozwiązanie rzeczywiste (podwójny pierwiastek rzeczywisty),
  •   to równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.

Rozwiązania korzystające z wyróżnika są poprawne także nad skończonymi ciałami   gdzie   jest pewną liczbą pierwszą większą od 2.

Przykłady
  • Równanie
 
ma dwa rozwiązania, gdyż jego wyróżnik jest równy
 
Są nimi   oraz  
  • Równanie
 
po uporządkowaniu ma postać
 
Nie ma rozwiązań rzeczywistych, gdyż
 
jednak ma rozwiązania zespolone: ponieważ   to rozwiązania mają postać
 
  • Równanie
 
ma jedno rozwiązanie   gdyż wyróżnik
 

Wzory skróconego mnożeniaEdytuj

Równania kwadratowe można niekiedy przedstawić w postaci iloczynowej wprost ze wzorów skróconego mnożenia.

Przykłady
  • Równanie
 
można zapisać korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy jako
 
wtedy   jest jedynym rozwiązaniem spełniającym powyższą równość.
  • Ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów równanie
 
jest tożsame równaniu
 
skąd musi być
  lub  
tzn. rozwiązaniami jest każda z liczb
  oraz  

Wzory Viète’aEdytuj

Zobacz też: wzory Viète’a.

Znając jedno rozwiązanie, można wskazać drugie, korzystając z tzw. wzorów Viète’a, które dla wielomianu   mają postać

 

Przykładem ich zastosowania może być następujący przypadek szczególny: jeżeli współczynniki wielomianu

 

spełniają równości   i   to można go zapisać jako

 

Oznacza to, że rozwiązaniami równania

 

którego współczynniki spełniają powyższe tożsamości są liczby

  oraz  
Przykłady
  • Równanie
 
daje się przedstawić w postaci
 
skąd otrzymuje się rozwiązania
  oraz  
  • Równanie
 
można zapisać jako
 
co oznacza, że rozwiązaniami są liczby
  oraz  

Dopełnianie do kwadratuEdytuj

Zwykle wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia nie jest możliwe, jednak czasami drobne przekształcenia równania pozwalają uprościć proces wyznaczania rozwiązania; szczególnie, jeśli wyłącznie wyraz wolny stanowi przeszkodę. Niech

 

będzie równaniem, którego rozwiązania są poszukiwane. Jeżeli

 

to wyjściowe równanie można przekształcić następująco:

 

skąd

 

a skorzystawszy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów otrzymuje się

 

co daje rozwiązania

  oraz  

Podobnie jak objaśniono to wyżej, rozwiązanie rzeczywiste istnieje wyłącznie, gdy  

Przykłady
  • Równanie
 
jest tożsame następującemu
 
kontynuując uzyskuje się
 
co jest równoważne
 
oraz
 
a więc rozwiązaniami są
  oraz  

Współczynniki całkowiteEdytuj

Istnieje prosta metoda wyznaczania pierwiastków wymiernych równania kwadratowego o współczynnikach całkowitych, czyli postaci

 

gdzie   są liczbami całkowitymi (jeżeli są liczbami wymiernymi, spośród których choć jedna nie jest całkowita, to równanie można pomnożyć stronami przez najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników tych współczynników uzyskując równanie równoważne, tj. o jednakowym zbiorze rozwiązań). Dokładniej:

Jeżeli liczba wymierna   gdzie   i  względnie pierwszymi liczbami całkowitymi (tzn. ich największy wspólny dzielnik jest równy 1) jest pierwiastkiem powyższego, to   jest dzielnikiem   a   jest dzielnikiem  

Powyższe twierdzenie jest prawdziwe także dla wielomianów wyższych stopni.

Przykłady
  • Rozwiązaniami wymiernymi równania
 
mogą być tylko liczby należące do zbioru   Podstawiając   otrzymuje się wyraźnie dużą liczbę dodatnią po lewej stronie; podstawienie   daje   liczba   podstawiona do równania daje po lewej stronie wartość   liczba   jest rozwiązaniem powyższego równania (drugim jest  ).

InneEdytuj

Jeżeli suma współczynników równania

 

jest równa zeru, tzn.   to wśród jego rozwiązań znajduje się liczba   (por. przykład z powyższej sekcji). Jeżeli   to liczba   jest pierwiastkiem tego równania.

Przykład
Równanie
 
na mocy powyższego faktu ma pierwiastek równy  

Zobacz teżEdytuj