Równanie parametryczne

Równanie parametryczne – równanie, które określa daną wielkość jako funkcję jednej lub kilku zmiennych nazywanych parametrami. Np. w kinematyce często jako parametr przyjmuje się czas – za jego pomocą opisuje się współrzędne wektora położenia ciała, prędkości, pędu, momentu pędu itp., które w ogólności zależą od czasu.

Krzywa motylkowa jako przykład krzywej zdefiniowanej poprzez równanie parametryczne

Równania parametryczne stosuje się też powszechnie do definicji krzywych lub powierzchni: za pomocą równań parametrycznych określa się współrzędne punktów krzywej lub powierzchni. Przy tym krzywa parametryczna jest funkcją jednego niezależnego parametru. Gdy są dwa parametry, to mamy do czynienia z powierzchnią parametryczną.

Przykłady dwuwymiaroweEdytuj

ParabolaEdytuj

Weźmy dla przykładu najprostsze równanie dla paraboli,

 

które może zostać sparametryzowane poprzez użycie dowolnego parametru   w następujący sposób:

 
 

OkrągEdytuj

Poprzedni przykład stanowi trywialny szczególny przypadek, dlatego rozważmy teraz okrąg o promieniu  

 
 

gdzie  

Przykłady trójwymiaroweEdytuj

HelisaEdytuj

 
Spirala

Równania parametryczne są wygodne do opisywania krzywych w przestrzeniach o większych wymiarach. Weźmy dla przykładu równania:

 
 
 

gdzie    

które opisują trójwymiarową krzywą, mówiąc konkretniej helisę, o promieniu   która wznosi się o   co okrążenie. Takie wyrażenia jak powyżej są często zapisywane jako

 

Powierzchnie parametryczneEdytuj

 
Torus dla R=2 i promienia r=1/2

Torus, którego odległość od środka torusa oznaczona jest jako R i którego promień wynosi r, może być sparametryzowany równaniami zależnymi od dwóch parametrów  

 
 
 

gdzie   

ZastosowanieEdytuj

Opisany wyżej sposób wyrażania krzywych jest praktyczny, dlatego iż równania te można różniczkować lub całkować względem parametru.

Np. prędkość jest pochodną wektora położenia ciała względem czasu:

 

natomiast przyspieszenie jest drugą pochodną wektora położenia ciała względem czasu:

 

Konwersja równań parametrycznych do pojedynczego równaniaEdytuj

Konwersja zbioru równań parametrycznych do pojedynczego równania polega na wyeliminowaniu zmiennej   z równań   Jeśli jedno z tych równań może być rozwiązane dla   wtedy wyrażenie otrzymane może zostać podstawione do innego równania po to, aby otrzymać równanie, w którym występować będą tylko zmienne   oraz   Jeśli   i   są funkcjami wymiernymi, wtedy techniki teorii równań, takie jak rugownik, mogą zostać zastosowane do wyeliminowania zmiennej   Istnieją również szczególne przypadki, w których nie istnieje pojedyncze równanie, które by występowało w zamkniętej formie[1].

Dla przykładu weźmy okrąg o promieniu  

 
 
   

Może on być łatwo wyrażony za pomocą zmiennych   oraz   korzystając z jedynki trygonometrycznej:

 
 
 
 

co ostatecznie jest łatwo identyfikowane z typem krzywej stożkowej, czyli w tym przypadku z okręgiem.

PrzypisyEdytuj