Otwórz menu główne


Krzywa motylkowa jako przykład krzywej zdefiniowanej poprzez równanie parametryczne

Równanie parametryczne – równanie, które określa daną wielkość jako funkcję jednej lub kilku zmiennych nazywanych parametrami. Np. w kinematyce często jako parametr przyjmuje się czas - za jego pomocą opisuje się współrzędne wektora położenia ciała, prędkości, pędu, momentu pędu itp., które w ogólności zależą od czasu.

Równania parametryczne stosuje się też powszechnie do definicji krzywych lub powierzchni: za pomocą równań parametrycznych określa się współrzędne punktów krzywej lub powierzchni. Przy tym krzywa parametryczna jest funkcją jednego niezależnego parametru. Gdy są dwa parametry, to mamy do czynienia z powierzchnią parametryczną.

Przykłady dwuwymiaroweEdytuj

ParabolaEdytuj

Weźmy dla przykładu najprostsze równanie dla paraboli,

 

które może zostać sparametryzowane poprzez użycie dowolnego parametru t w następujący sposób:

 
 

OkrągEdytuj

Poprzedni przykład stanowi trywialny szczególny przypadek, dlatego rozważmy teraz okrąg o promieniu a:

 
 

gdzie  

Przykłady trójwymiaroweEdytuj

HelisaEdytuj

 
Spirala

Równania parametryczne są wygodne do opisywania krzywych w przestrzeniach o większych wymiarach. Weźmy dla przykładu równania:

 
 
 

gdzie    

które opisują trójwymiarową krzywą, mówiąc konkretniej helisę, o promieniu a, która wznosi się o 2πb co okrążenie. Takie wyrażenia jak powyżej są często zapisywane jako

 

Powierzchnie parametryczneEdytuj

 
Torus dla R=2 i promienia r=1/2

Torus, którego odległość od środka torusa oznaczona jest jako R i którego promień wynosi r, może być sparametryzowany równaniami zależnymi od dwóch parametrów  :

 
 
 

gdzie   

ZastosowanieEdytuj

Opisany wyżej sposób wyrażania krzywych jest praktyczny, dlatego iż równania te można różniczkować lub całkować względem parametru.

Np. prędkość jest pochodną wektora położenia ciała względem czasu:

 

natomiast przyspieszenie jest drugą pochodną wektora położenia ciała względem czasu:

 

Konwersja równań parametrycznych do pojedynczego równaniaEdytuj

Konwersja zbioru równań parametrycznych do pojedynczego równania polega na wyeliminowaniu zmiennej   z równań   Jeśli jedno z tych równań może być rozwiązane dla t, wtedy wyrażenie otrzymane może zostać podstawione do innego równania po to, aby otrzymać równanie, w którym występować będą tylko zmienne x oraz y. Jeśli   i   są funkcjami wymiernymi, wtedy techniki teorii równań, takie jak rugownik, mogą zostać zastosowane do wyeliminowania zmiennej t. Istnieją również szczególne przypadki, w których nie istnieje pojedyncze równanie, które by występowało w zamkniętej formie[1].

Dla przykładu weźmy okrąg o promieniu a

 
 
   

Może on być łatwo wyrażony za pomocą zmiennych x oraz y korzystając z jedynki trygonometrycznej:

 
 
 
 

co ostatecznie jest łatwo identyfikowane z typem krzywej stożkowej, czyli w tym przypadku z okręgiem.

PrzypisyEdytuj