Wykres zmian temperatury kwadratowej płyty, obliczony z równania ciepła. Wysokość i zaczerwienienie wykresu określają temperaturę w punktach płyty. Stan początkowy obejmuje równomiernie gorący obszar w kształcie kopyta (czerwony) otoczony równomiernie zimnym obszarem (żółty). W miarę upływu czasu ciepło rozprzestrzenia się w zimnym obszarze.Numerycznie wyznaczona zmiana temperatury ciała.
gdzie – początkowy rozkład temperatury w przestrzeni, – szukana zależność rozkładu temperatury w przestrzeni w chwili czasu
Przypuśćmy, że ma zwarty nośnik i na pewnej kuli B jest Wówczas
dla każdego Zatem ciepło dochodzi w dowolnie małym czasie do każdego punktu przestrzeni, czyli rozchodzi się nieskończenie szybko. Tak oczywiście w rzeczywistości nie jest, dlatego też czasami używa się zaburzonego równania przewodnictwa cieplnego. Do równania wprowadza się wtedy parametr będący czasem relaksacji, na podstawie którego można wyznaczyć prędkość propagacji fali cieplnej[1]:
Wartość τ jest bardzo mała i wynosi np. 10−11 s dla aluminium, 10−6 s dla ciekłego helu. W przypadku ciekłego helu współczynnik dyfuzji wynosi 10 m²/s, stąd prędkość propagacji 3162 m/s, dlatego w praktyce obliczeniowej przyjmuje się czas relaksacji s i co za tym idzie, nieskończoną prędkość propagacji.
Niech ustalony czas, oraz ograniczona funkcja, będąca rozwiązaniem równania przewodnictwa cieplnego. Oznaczmy oraz Wówczas
Zasadę maksimum można interpretować fizycznie następująco: w momencie przyjmowana jest największa i najmniejsza wartość temperatury, potem temperatura będzie się stabilizować i „uśredniać”, zachowuje się zatem zgodnie z codziennym doświadczeniem.
Interpretujemy funkcję jako temperaturę w punkcie przestrzeni x w momencie t. Zakładamy, że ciepło ucieka z najcieplejszego do najzimniejszego miejsca, tj. w kierunku przeciwnym do gradientu temperatury.
Ponadto zakładamy, że każdy obszar ogrzewa się proporcojnalnie do ilości ciepła, która do niego wpłynęła:
W ogólności, tzn. dla dowolnie wybranej funkcji zagadnienie nie jest dobrze postawione, gdyż rozwiązania nie są jednoznaczne. Jeden z przykładów został podany przez Tichonowa.
W klasie ograniczonych rozwiązań równania, tj. zagadnienie ma jednoznaczne rozwiązanie i jest dobrze postawione.