Otwórz menu główne

Równanie przewodnictwa cieplnego

Przykład numerycznie wyznaczonej zmiany temperatury w dwuwymiarowym ciele. Wysokość oraz kolor przedstawiają temperaturę.
Numerycznie wyznaczona zmiana temperatury ciała.

Równanie przewodnictwa cieplnegorównanie różniczkowe cząstkowe, opisujące przepływ ciepła przy zadanym jego początkowym rozkładzie w ośrodku oraz przy określonych warunkach brzegowych. Równanie ma postać:

gdzie – początkowy rozkład temperatury w przestrzeni, – szukana zależność rozkładu temperatury w przestrzeni w chwili czasu

Rozwiązanie równania przewodnictwaEdytuj

Poszukujemy rozwiązań w klasie regularności  

Rozwiązaniem podstawowym równania przewodnictwa cieplnego jest:

 

Można sprawdzić, że spełnia ono:

  •  
  •  

Jeśli funkcja   jest ciągła i ograniczona to funkcja

 

jest rozwiązaniem równania przewodnictwa cieplnego, jest ograniczone i jest dodatkowo klasy  

Używając pojęcia splotu można napisać:

 

Nieskończenie szybkie rozchodzenie się ciepłaEdytuj

Przypuśćmy, że   ma zwarty nośnik i na pewnej kuli B jest   Wówczas

 

dla każdego   Zatem ciepło dochodzi w dowolnie małym czasie do każego punktu przestrzeni, czyli rozchodzi się nieskończenie szybko. Tak oczywiście w rzeczywistości nie jest, dlatego też czasami używa się zaburzonego równania przewodnictwa cieplnego. Do równania wprowadza się wtedy parametr τ będący czasem relaksacji, na podstawie którego można wyznaczyć prędkość propagacji fali cieplnej[1]:

 

gdzie D to dyfuzyjność cieplna.

Wartość τ jest bardzo mała i wynosi np. 10−11 s dla aluminium, 10−6 s dla ciekłego helu. W przypadku ciekłego helu współczynnik dyfuzji wynosi 10 m²/s, stąd prędkość propagacji 3162 m/s, dlatego w praktyce obliczeniowej przyjmuje się czas relaksacji τ = 0 s i co za tym idzie, nieskończoną prędkość propagacji.

Zasada maksimum dla równania przewodnictwa ciepłaEdytuj

Niech   ustalony czas, oraz   ograniczona funkcja, będąca rozwiązaniem równania przewodnictwa cieplnego. Oznaczmy   oraz   Wówczas

  •  
  •  

Zasadę maksimum można interpretować fizycznie następująco: w momencie   przyjmowana jest największa i najmniejsza wartość temperatury, potem temperatura będzie się stabilizować i „uśredniać”, zachowuje się zatem zgodnie z codziennym doświadczeniem.

Wyprowadzenie równania przewodnictwaEdytuj

Interpretujemy funkcję   jako temperaturę w punkcie przestrzeni x w momencie t. Zakładamy, że ciepło   ucieka z najcieplejszego do najzimniejszego miejsca, tj. w kierunku przeciwnym do gradientu temperatury.

 

Ponadto zakładamy, że każdy obszar V ogrzewa się proporcojnalnie do ilości ciepła, która do niego wpłynęła:

 

A z twierdzenie Gaussa:

 

gdzie   oznacza pochodną normalną funkcji. Zatem dostajemy:

 

Z dowolności   mamy:

 

czyli:

 

Poprawność zagadnieniaEdytuj

W ogólności, tzn. dla dowolnie wybranej funkcji   zagadnienie nie jest dobrze postawione, gdyż rozwiązania nie są jednoznaczne. Jeden z przykładów został podany przez Tichonowa.

W klasie ograniczonych rozwiązań równania, tj.   zagadnienie ma jednoznaczne rozwiązanie i jest dobrze postawione.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Jan Taler: Solving direct and inverse heat conduction problems. Berlin: Springer, 2006, s. 17. ISBN 978-3-540-33470-5.