Równanie przewodnictwa cieplnego

Równanie przewodnictwa cieplnego – równanie różniczkowe cząstkowe, opisujące przepływ ciepła przy zadanym jego początkowym rozkładzie w ośrodku oraz przy określonych warunkach brzegowych. Równanie ma postać:

Wykres zmian temperatury kwadratowej płyty, obliczony z równania ciepła. Wysokość i zaczerwienienie wykresu określają temperaturę w punktach płyty. Stan początkowy obejmuje równomiernie gorący obszar w kształcie kopyta (czerwony) otoczony równomiernie zimnym obszarem (żółty). W miarę upływu czasu ciepło rozprzestrzenia się w zimnym obszarze.

Numerycznie wyznaczona zmiana temperatury ciała.

${\begin{cases}{\frac {\partial }{\partial t}}u-\triangle _{x}u=0,&x\in \mathbb {R} ^{n},t\in \mathbb {R} _{+}\\u(x,0)=g(x),&g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} \end{cases}}$

gdzie $g(x)$ – początkowy rozkład temperatury w przestrzeni, $u(x,t)$ – szukana zależność rozkładu temperatury w przestrzeni w chwili czasu $t.$

Rozwiązanie równania przewodnictwa

Poszukujemy rozwiązań w klasie regularności $u\in C^{2}(\mathbb {R} ^{n}\times [0,+\infty ))\cap C^{0}(\mathbb {R} ^{n}\times (0,+\infty )).$

Rozwiązaniem podstawowym równania przewodnictwa cieplnego jest:

$E(x,t)=(4\pi t)^{-n/2}\exp \left({\frac {-|x|^{2}}{4t}}\right).$

Można sprawdzić, że spełnia ono równania:

• ${}\,\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}{E(x,t)\mathrm {d} x}=1,$
• $E_{t}-\triangle _{x}E=0.$

Jeśli funkcja $g$ jest ciągła i ograniczona to funkcja

$u(x,t)={\begin{cases}\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}{g(y)E(x-y,t)\mathrm {d} y},&t>0\\g(x),&t=0\end{cases}}$

jest rozwiązaniem równania przewodnictwa cieplnego, jest ograniczone i jest dodatkowo klasy $C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}\times (0,+\infty ))\cap C^{0}(\mathbb {R} ^{n}\times [0,+\infty )).$

Używając pojęcia splotu można napisać:

$u(x,t)=(g(\cdot )*E(\cdot ,t))(x).$

Nieskończenie szybkie rozchodzenie się ciepła

Przypuśćmy, że $g$ ma zwarty nośnik i na pewnej kuli B jest $g>0.$ Wówczas

$u(x,t)=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}{g(y)E(x-y,t)}\mathrm {d} y\geqslant 0$

dla każdego $x\in \mathbb {R} ^{n},t>0.$ Zatem ciepło dochodzi w dowolnie małym czasie do każdego punktu przestrzeni, czyli rozchodzi się nieskończenie szybko. Tak oczywiście w rzeczywistości nie jest, dlatego też czasami używa się zaburzonego równania przewodnictwa cieplnego. Do równania wprowadza się wtedy parametr $\tau$ będący czasem relaksacji, na podstawie którego można wyznaczyć prędkość propagacji fali cieplnej:

$v={\sqrt {\frac {D}{\tau }}},$

gdzie $D$ to dyfuzyjność cieplna.

Wartość τ jest bardzo mała i wynosi np. 10⁻¹¹ s dla aluminium, 10⁻⁶ s dla ciekłego helu. W przypadku ciekłego helu współczynnik dyfuzji wynosi 10 m²/s, stąd prędkość propagacji 3162 m/s, dlatego w praktyce obliczeniowej przyjmuje się czas relaksacji $\tau =0$ s i co za tym idzie, nieskończoną prędkość propagacji.

Zasada maksimum dla równania przewodnictwa ciepła

Niech $T>0$ ustalony czas, oraz $u(x,t)$ ograniczona funkcja, będąca rozwiązaniem równania przewodnictwa cieplnego. Oznaczmy $\Omega =\mathbb {R} ^{n}\times [0,T]$ oraz $\Omega _{0}=\mathbb {R} ^{n}\times {0}.$ Wówczas

• $\sup _{\Omega }{u(x,t)}=\sup _{\Omega _{0}}{u(x,0)},$
• $\inf _{\Omega }{u(x,t)}=\inf _{\Omega _{0}}{u(x,0)}.$

Zasadę maksimum można interpretować fizycznie następująco: w momencie $t=0$ przyjmowana jest największa i najmniejsza wartość temperatury, potem temperatura będzie się stabilizować i „uśredniać”, zachowuje się zatem zgodnie z codziennym doświadczeniem.

Wyprowadzenie równania przewodnictwa

Interpretujemy funkcję $u(x,t)$ jako temperaturę w punkcie przestrzeni x w momencie t. Zakładamy, że ciepło $J(x,t)$ ucieka z najcieplejszego do najzimniejszego miejsca, tj. w kierunku przeciwnym do gradientu temperatury.

$J(x,t)=-k\cdot \triangledown _{x}{u}.$

Ponadto zakładamy, że każdy obszar $V$ ogrzewa się proporcojnalnie do ilości ciepła, która do niego wpłynęła:

$\int \limits _{V}{\frac {\partial u}{\partial t}}\mathrm {d} V=-\int \limits _{\partial V}{J\circ n}\mathrm {d} V$

A z twierdzenia Gaussa:

$\int \limits _{V}\operatorname {div} J\mathrm {d} V=\int \limits _{\partial V}{J\circ n}\mathrm {d} V,$

gdzie $J\circ n={\frac {\partial J}{\partial n}}$ oznacza pochodną normalną funkcji. Zatem dostajemy:

$\int \limits _{V}\left({\frac {\partial u}{\partial t}}+\operatorname {div} {J}\right)\mathrm {d} V=0.$

Z dowolności $V$ mamy:

${\frac {\partial u}{\partial t}}+\operatorname {div} J=0,$

czyli:

${\frac {\partial u}{\partial t}}-k\triangle _{x}{u}=0.$

Poprawność zagadnienia

W ogólności, tzn. dla dowolnie wybranej funkcji $g,$ zagadnienie nie jest dobrze postawione, gdyż rozwiązania nie są jednoznaczne. Jeden z przykładów został podany przez Tichonowa.

W klasie ograniczonych rozwiązań równania, tj. $u\in C^{2}(\mathbb {R} ^{n}\times (0,+\infty ))\cap C^{0}(\mathbb {R} ^{n}\times (0,+\infty )\cap L^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}\times [0,+\infty ))$ zagadnienie ma jednoznaczne rozwiązanie i jest dobrze postawione.

Zobacz też

• ciepło
• przewodność cieplna
• przewodzenie ciepła

Linki zewnętrzne

• Grant Sanderson, Solving the heat equation, kanał 3blue1brown na YouTube, 16 czerwca 2019 [dostęp 2021-03-15].
• The Heat Equation + Special Announcement!, kanał PBS Infinite Series na YouTube, 17 listopada 2017 [dostęp 2024-08-29].