Równanie różniczkowe

typ równania funkcyjnego

Równanie różniczkowerównanie określające zależność pomiędzy nieznaną funkcją a jej pochodnymi[1].

Równania różniczkowe można podzielić na:

Przykład edytuj

Rozwiązanie zwyczajnego równania różniczkowego polega na znalezieniu takiej funkcji   która spełnia to równanie. Np. równanie różniczkowe

 

gdzie   oznacza drugą pochodną zmiennej zależnej   względnej zmiennej niezależnej   ma ogólne rozwiązanie w postaci

 

  i   - stałe, które wyznacza się na podstawie warunków początkowych lub warunków brzegowych.

Metody rozwiązywania równań różniczkowych edytuj

Istnieją metody analityczne rozwiązywania równań różniczkowych pewnych szczególnych typów. Jednak wiele równań różniczkowych nie ma rozwiązań, które dałyby się wyrazić w postaci jawnej. W praktyce często ważniejszą informacją od samej postaci rozwiązania jest informacja o jego istnieniu (gdyż nie każde równanie różniczkowe musi je mieć).

W przypadku równań różniczkowych, o których wiadomo, że mają rozwiązanie, w zastosowaniach wystarczające jest znalezienie rozwiązania przybliżonego, np. stosując metodę aproksymacji. Efektywnego sposobu rozwiązań równań różniczkowych dostarczają metody numeryczne, np. metoda Rungego-Kutty.

Obecnie prowadzi się wiele badań nad kolejnymi schematami rozwiązywania równań różniczkowych, gdyż mają one wiele zastosowań praktycznych. Na wielu uniwersytetach są specjalne katedry równań różniczkowych zajmujące się praktycznie tylko szukaniem rozwiązań kolejnych przełomowych równań.

Oprogramowanie edytuj

Dostępne jest oprogramowanie, za pomocą którego można znajdować rozwiązania równań różniczkowych:

Płatne:

  • Mathematica, aplikacja początkowo przeznaczona do obliczeń symbolicznych.
  • Maple[2], aplikacja do obliczeń symbolicznych.
  • MATLAB, aplikacje obliczeniowe (skrót od słów MATrix LABoratory).

Bezpłatne:

Przykłady równań różniczkowych w matematyce i fizyce edytuj

Matematyka:

Mechanika klasyczna:

Teoria fal:

Fizyka jądrowa:

Mechanika płynów:

Termodynamika:

Teoria grawitacji:

Mechanika kwantowa:

Zobacz też edytuj

Bibliografia edytuj

  • I. N. Bronsztejn, K. A. Siemiendiajew, Poradnik encyklopedyczny Matematyka, PWN, Warszawa 2010, str. 509-549 - równania różniczkowe zwyczajne, 549-573 - równania różniczkowe cząstkowe.
  • R. S. Guter, A. R. Janpolski, Równania różniczkowe, PWN, Warszawa 1980.
  • W.I. Smirnow, Matematyka wyższa, tom II, PWN, Warszawa 1966, str. 7-165 - równania różniczkowe zwyczajne oraz 464-607 - równania różniczkowe cząstkowe.

Przypisy edytuj

  1. Równania różniczkowe, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-07-29].
  2. dsolve - Maple Programming Help, www.maplesoft.com [dostęp 2020-05-12].
  3. Basic Algebra and Calculus — Sage Tutorial v9.0, doc.sagemath.org [dostęp 2020-05-12].
  4. http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/giac/cascmd_en.pdf

Linki zewnętrzne edytuj