Równanie różniczkowe Laplace’a

Równanie różniczkowe Laplace’arównanie różniczkowe cząstkowe liniowe drugiego rzędu postaci[1]:

gdzie funkcja jest klasy Znak oznacza operator Laplace’a. Dla w kartezjańskim układzie współrzędnych, równanie ma więc postać:

Alternatywne zapisy równania to:

czyli laplasjan jako dywergencja gradientu, a także:

gdzie to operator nabla.

Nazwa równania pochodzi od nazwiska Pierre’a Simona de Laplace’a, który sformułował je w XVIII wieku.

Interpretacja fizycznaEdytuj

Równanie to wyraża następującą własność pola potencjalnego: dywergencja (rozbieżność) wektorowego pola potencjalnego (czyli gradientu potencjału), pod nieobecność źródła jest równa zeru. Opisuje ono zatem wiele procesów zachodzących w przyrodzie, np. potencjał grawitacyjny poza punktami źródeł pola (czyli bez punktów materialnych), potencjał prędkości cieczy przy braku źródeł. Równanie Laplace’a jest szczególnym przypadkiem równania Poissona, wyrażającego analogiczny związek w przypadku istnienia źródeł pola.

Równanie Laplace’a występuje m.in. [2]:

Interpretacja matematycznaEdytuj

Równanie Laplace’a jest równaniem eliptycznym. Funkcję spełniającą równanie różniczkowe Laplace’a nazywamy funkcją harmoniczną.

RozwiązaniaEdytuj

Wzór Poissona dla półprzestrzeniEdytuj

Dla dowolnej funkcji ciągłej ograniczonej   rozwiązaniem równania Laplace’a w półprzestrzeni   spełniającym na brzegu   dla   warunek   jest:

 

gdzie   jest objętością n-wymiarowej kuli jednostkowej.

Wzór Poissona dla kuliEdytuj

Dla dowolnej funkcji ciągłej ograniczonej   rozwiązaniem równania Laplace’a w (hiper-)kuli   spełniającym na (hiper-)sferze   warunek   jest:

 

gdzie   jest objętością n-wymiarowej kuli jednostkowej.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Laplace’a równanie, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-10-06].
  2. Feynman, Leighton i Sands 1974 ↓, s. 121.

BibliografiaEdytuj

Literatura dodatkowaEdytuj