Równanie różniczkowe zupełne

Równanie różniczkowe zupełnerównanie różniczkowe rzędu pierwszego postaci[1]:

w którym funkcje ciągłe w pewnym obszarze i takie, że wyrażenie jest różniczką zupełną pewnej określonej w obszarze funkcji dwóch zmiennych

Zatem istnieje taka różniczkowalna funkcja że w każdym punkcie obszaru zachodzą następujące związki:

Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, aby wyrażenie było różniczką zupełną w obszarze jednospójnym jest spełnienie równości:

PrzykładEdytuj

 
 
 

Zatem   czyli istnieje   taka, że:

 
(1)
 
(2)

Przekształcając jedno z powyższych równań (np. (2)) otrzymujemy:

 

Różniczkując powyższe wyrażenie otrzymujemy:

 
  z równania (1)

stąd:

 

zatem:

 

czyli:

 

i upraszczając:

  gdzie   to stała.

PrzypisyEdytuj

  1. В.И.Смирнов, "Курс высшей математики", tom II, Гос. Издат. Тех-теор. литературы, Москва 1951