Otwórz menu główne

Równanie różniczkowe zwyczajne

Równanie różniczkowe zwyczajnerównanie, w którym występują stałe, funkcje niewiadome oraz pochodne funkcji niewiadomych. W równaniach różniczkowych zwyczajnych funkcje niewiadome zależą od jednej zmiennej niezależnej.

DefinicjaEdytuj

Równanie postaci:

 

gdzie:

  jest zadaną funkcją,
  to kolejne pochodne szukanej funkcji

nazywamy równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n.

Powyższe równanie daje się często zapisać w innej postaci:

 

gdzie  

W praktyce bardzo często pomija się zapisywanie argumentu przy funkcji y, tzn. zamiast   pisze się tylko  

PrzykładyEdytuj

 
Tor kuli wystrzelonej z armaty naśladuje krzywą opisywaną przez zwyczajne równanie różniczkowe pochodne drugiemu prawu Newtona.

Prostym przykładem może być drugie prawo Newtona opisujące ruch ciała o stałej masie  :

 

gdzie siła   zależy od położenia ciała   w czasie   a nieznana funkcja   pojawia się po obu stronach równania, co widać w zapisie  

Inne przykłady:

  •  
  •  
  •   w zapisie alternatywnym:  
  •  

Dodatkowe informacjeEdytuj

Proces znajdowania rozwiązań równań różniczkowych nazywa się całkowaniem. Całką nazywa się jedno lub kilka równań wiążących funkcje niewiadome ze zmiennymi niezależnymi w taki sposób, że po podstawieniu funkcji niewiadomych i ich pochodnych do danego równania różniczkowego jest ono tożsamościowo spełnione.

Rozwiązaniem równania różniczkowego nazywamy całkę wyrażającą w sposób jawny zależność funkcji niewiadomych od zmiennych niezależnych.

Zobacz teżEdytuj