Równanie różniczkowe zwyczajne

Równanie różniczkowe zwyczajnerównanie, w którym występują: jedna zmienna niezależna oraz jedna lub więcej funkcji niewiadomych i ich pochodne.

Równanie różniczkowe byłoby cząstkowe, gdyby występowały w nim pochodne po dwu lub większej liczbie zmiennych niezależnych.

Wśród równań różniczkowych zwyczajnych równania różniczkowe liniowe odgrywają szczególną rolę, gdyż większość równań fizyki i matematyki stosowanej ma taką postać. Ponadto, równania nieliniowe są trudniejsze do rozwiązania i dlatego często przybliża się je za pomocą równań liniowych.

DefinicjeEdytuj

OznaczeniaEdytuj

Niech   oznacza zmienną niezależną,   zmienną zależną. Stosuje się różne oznaczenia na pochodne zmiennej zależnej   względem zmiennej  

  •  
  •  
  •  

W praktyce (jak wyżej) zazwyczaj pomija się zapisywanie argumentu przy funkcji   i jej pochodnych, tzn. np. zamiast   pisze się tylko  

Ogólna definicjaEdytuj

(1) Jeżeli   jest funkcją zmiennej   zmiennej   oraz pochodnych zmiennej   to równanie postaci

 

nazywa się jawnym równaniem różniczkowym rzędu  

(2) Niejawnym równaniem różniczkowym rzędu   nazywa się równanie postaci

 

Równanie różniczkowe liniowe rzędu n jednej zmiennej x(t)Edytuj

Równanie różniczkowe nazywamy liniowym rzędu n zmiennej zależnej  , gdy   można zapisać w postaci kombinacji liniowej funkcji   i jej pochodnych:

 

gdzie   oraz   są różniczkowalnymi funkcjami zmiennej   niekoniecznie liniowymi. Innymi słowy: równanie jest liniowe, gdy zmienna zależna i jej pochodne występują tylko w 1-sze potędze i nie ma wyrazów z funkcjami zmiennej   czy jej pochodnych, np.   itd.

Przy tym mamy dwa istotne przypadki:

  •   – wtedy równanie nazywa się jednorodnym
  •   – wtedy równanie nazywa się niejednorodnym.

Przykłady:

(1) Równanie liniowe niejednorodne rzędu  

 

np. równanie ruchu ciała ze stałym przyspieszeniem

(2) Równania liniowe niejednorodne rzędu  

a)  

b)  

c)  

np. równaniami a), b) oraz c) opisuje się ruch harmoniczny: a) swobodny b) z siłą wymuszającą   c) z tłumieniem.

Równanie różniczkowe nieliniowe rzędu nEdytuj

– to równanie, które nie jest liniowe

Przykłady: Równania nieliniowe jednej zmiennej zależnej

(1)  

– opisuje drganie oscylatora anharmonicznego (np. wahadła matematycznego); aby równanie było liniowe, zmienna zależna powinna być w pierwszej potędze, nie w postaci funkcji   dla małych drgań można dokonać przybliżenia   dzięki czemu upraszcza się równanie do postaci liniowej

(2)  

(3)  

(4)  

– równania (2)-(4) są nieliniowe, bo zmienna zależna nie jest w pierwszej potędze, ale w drugiej lub trzeciej; dodatkowo w równaniu (4) pochodna   jest w drugiej potędze.

Układ równań różniczkowych zwyczajnych (ODE)Edytuj

Jeżeli mamy powiązanych ze sobą   równań różniczkowych zwyczajnych, to tworzą one układ (ang. ordinary differential equations – ODE). Niech   oznacza wektor, którego elementami są funkcje

 

zaś   – funkcja, której wartościami są funkcje wektora   i jego pochodnych, to

 

jest jawną postacią układu równań różniczkowych zwyczajnych wymiaru   w postaci macierzowej mamy

 

Funkcje te niekoniecznie są liniowe. W postaci niejawnej mamy

 

gdzie   – wektor zerowy. W postaci macierzowej mamy

 

Całkowanie równań różniczkowych. CałkiEdytuj

Proces znajdowania rozwiązań równań różniczkowych nazywa się całkowaniem.

Całką nazywa się jedno równanie   lub zespół równań   wiążących funkcje niewiadome ze zmienną niezależną   Po podstawieniu funkcji niewiadomych i ich pochodnych do danego równania różniczkowego jest ono tożsamościowo spełnione.

Uwaga: Nie należy tego pojęcia mylić z pojęciem całki, rozumianej jako pole powierzchni pod krzywą.

PrzykładyEdytuj

Równanie wektorowe drugiej zasady dynamikiEdytuj

 
Tor kuli wystrzelonej z armaty jest opisany krzywą będącą rozwiązaniem układu dwóch równań różniczkowych zwyczajnych, zadających współrzędne ciała na płaszczyźnie  

Równanie opisujące drugą zasadę dynamiki Newtona w przypadku ruchu ciała w przestrzeni 3-wymiarowej o stałej masie   w polu wektora siły   zmiennej w czasie ma postać:

 

gdzie:

  •   – wektor, określający położenia ciała w zależności od czasu  

Jest to więc układ 3 równań różniczkowych liniowych rzędu   trzech zmiennych   które są współrzędnymi ciała w przestrzeni.

Układ LorentzaEdytuj

Układ Lorentza – to układ trzech nieliniowych równań różniczkowych zwyczajnych

 

gdzie:       – stałe parametry; tutaj oznaczono:     ma sens czasu.

Układ ten modeluje zjawisko konwekcji termicznej w atmosferze; badanie tego układu doprowadziło do odkrycia zjawiska chaosu deterministycznego.

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj

  • I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew, Poradnik encyklopedyczny. Matematyka, PWN, Warszawa 2010.