Otwórz menu główne

Rachunek predykatów pierwszego rzędu

Rachunek predykatów pierwszego rzędu (ang. first order predicate calculus) – system logiczny, w którym zmienna, na której oparty jest kwantyfikator, może być elementem pewnej wybranej dziedziny (zbioru), nie może natomiast być zbiorem takich elementów. Tak więc nie mogą występować kwantyfikatory typu „dla każdej funkcji z X na Y...” (gdyż funkcja jest podzbiorem X × Y), „istnieje własność p, taka że...” czy „dla każdego podzbioru X zbioru Z...”. Rachunek ten nazywa się też krótko rachunkiem kwantyfikatorów, ale często używa się też nazwy logika pierwszego rzędu (szczególnie wśród matematyków zajmujących się logiką matematyczną).

Na przykład w rachunku predykatów pierwszego rzędu można zapisać zdanie „dla dowolnej liczby rzeczywistej istnieje liczba większa”, jednak nie można zapisać „każdy zbiór liczb rzeczywistych ma kres górny”, gdyż wówczas kwantyfikator ogólny musiałby przebiegać wszystkie możliwe podzbiory zbioru liczb rzeczywistych i potrzebny byłby rachunek predykatów co najmniej drugiego rzędu.

Rachunek predykatów pierwszego rzędu w ogólnym przypadku nie jest rozstrzygalny (w przeciwieństwie do rachunku zdań), lecz półrozstrzygalny (czyli rekurencyjnie przeliczalny), ale jeszcze nadaje się do komputerowej analizy (co już niekoniecznie można powiedzieć o rachunku predykatów wyższych rzędów, które dopuszczają kwantyfikatory dla zbiorów).

Znaczna część rozważań matematycznych może być sformalizowana na gruncie logiki pierwszego rzędu. Ponadto logika ta ma wiele własności czyniących ją bardziej użyteczną od innych logik, co ma wpływ na pewne preferowanie teorii formalizowalnych na jej gruncie.

W literaturze istnieje szereg równoważnych rozwinięć tego tematu. Prezentacja przedstawiona poniżej jest do pewnego stopnia oparta na książce Martina Goldsterna i Haima Judaha[1]. Wśród innych źródeł omawiających te zagadnienia należy wymienić podręcznik Witolda Pogorzelskiego[2], czy też książkę Zofii Adamowicz i Pawła Zbierskiego[3]. Bardzo popularnym jest też opracowanie Josepha Shoenfielda[4].

Spis treści

Wstęp do formalizacjiEdytuj

Logika pierwszego rzędu jest podstawą, na której formalizujemy większość matematyki. We wstępie do wspomnianej powyżej książki Goldsterna i Judaha traktującej właśnie o tej tematyce, Saharon Szelach napisał:

[Na gruncie matematyki] możemy zdefiniować czym jest dowód i wykazać, że w pewnym sensie „być prawdziwym” i „mieć dowód” znaczą to samo (twierdzenie Gödla o pełności). (...) Nie możemy wyciągnąć sami siebie z bagna za włosy: nie możemy udowodnić w naszym systemie, że nie ma w nim sprzeczności (twierdzenie Gödla o niezupełności) (...) Możemy zbudować ogólną teorię teorii matematycznych (teoria modeli).

System rachunku predykatów pierwszego rzędu składa się z:

  • zmiennych nazwowych (litery, za które wolno podstawić nazwy dowolnych przedmiotów)
  • stałych nazwowych (nazwy własne przedmiotów)
  • liter predykatowych (predykaty)
  • symboli funkcyjnych (funktory nazwotwórcze od argumentów nazwowych)
  • stałych logicznych (spójniki prawdziwościowe rachunku zdań i kwantyfikatory)
  • znaków pomocniczych (nawiasy)
  • symbolu równości.

Używając symboli wymienionych powyżej i przestrzegając naturalnych reguł, możemy budować poprawnie zbudowane napisy. Niektóre z tych napisów mogą być interpretowane jako nazwy na pewne obiekty, a inne będą mówić o własnościach tych obiektów. Pierwsza grupa napisów poprawnie zbudowanych to termy, a druga to zdania. Przykładowy schemat kwantyfikatorowy zdania: Nie ma czegoś, czym ciekawią się wszyscy...

 

(czyt.: Nie istnieje taki x, że x jest substratem wiedzy, i dla każdego y, że jeżeli y jest istotą rozumną, to y ciekawi się x).

Następnie ustalimy reguły wnioskowania, a także metody interpretacji naszych napisów.

Formalizacja języka Edytuj

Każdy język pierwszego rzędu jest zdeterminowany przez ustalenie alfabetu.

Niech   będzie pewnym zbiorem stałych, symboli funkcyjnych i symboli relacyjnych (predykatów). Każdy z tych symboli ma jednoznacznie określony charakter (tzn. wiadomo czy jest to stała, czy symbol funkcyjny, czy też predykat) i każdy z symboli funkcyjnych i predykatów ma określoną arność (która jest dodatnią liczbą całkowitą). Zbiór   będzie nazywany alfabetem naszego języka, a sam język wyznaczony przez ten alfabet będzie oznaczany przez   Ustalmy też nieskończoną listę zmiennych (zwykle  ).

Najpierw definiujemy termy języka   jako elementy najmniejszego zbioru   takiego, że:

  • wszystkie stałe i zmienne należą do  
  • jeśli   i   jest  -arnym symbolem funkcyjnym, to  

Następnie określamy zbiór formuł języka   jako najmniejszy zbiór   taki, że:

  • jeśli   to wyrażenie   należy do  
  • jeśli   zaś   jest  -arnym symbolem relacyjnym, to wyrażenie   należy do  
  • jeśli   i   jest binarnym spójnikiem zdaniowym (alternatywą   koniunkcją   implikacją   lub równoważnością  ), to   oraz  
  • jeśli   jest zmienną oraz   to także   i  

W formułach postaci   i   mówimy, że zmienna   znajduje się w zasięgu kwantyfikatora i jako taka jest związana. Przez indukcję po złożoności formuł rozszerzamy to pojęcie na wszystkie formuły, w których   czy też   pojawia się jako jedna z części użytych w budowie, ale ograniczamy się do występowań zmiennej   w   (i mówimy, że konkretne wystąpienie zmiennej jest wolne lub związane).

Zdanie w języku pierwszego rzędu   to taka formuła, w której każda zmienna jest związana, czyli znajduje się w zasięgu działania jakiegoś kwantyfikatora.

PrzykładyEdytuj

  • Język teorii mnogości to   gdzie   jest binarnym symbolem relacyjnym.
  • Język teorii grup to   gdzie   jest binarnym symbolem funkcyjnym.
  • Język ciał uporządkowanych to   gdzie   są binarnymi symbolami funkcyjnymi a   jest binarnym symbolem relacyjnym.

Dowody w językach pierwszego rzęduEdytuj

Ustalmy alfabet   (tak więc jest to zbiór złożony ze stałych, symboli funkcyjnych i symboli relacyjnych).

Podstawienia termów za zmienneEdytuj

Przypuśćmy, że t i s są termami języka   oraz   jest jedną ze zmiennych. Definiujemy podstawienie   jako term, który powstaje z s poprzez literalne zastąpienie w nim wszystkich egzemplarzy zmiennej   termem t.

W przypadku zmiennej   termu t i formuły   podstawienie   definiuje się bardziej subtelnie, co najlepiej ująć indukcyjnie względem budowy formuły   (por. [2]):

  • jeśli   jest formułą atomową   to  
  • jeśli   to   gdzie  
  • jeśli   to  

oraz

  • jeśli   gdzie   to   jeśli   oraz   w przeciwnym wypadku.

Aby móc wysłowić niektóre z aksjomatów Rachunku Predykatów konieczne jest pewne ograniczenie operacji podstawiania w formule. Mianowicie, powiadamy, że podstawienie termu t w formule   za zmienną   jest dopuszczalne lub, że zmienna   jest wolna dla termu t w formule  , ozn.   gdy (nieformalnie) literalne wstawienie tego termu w rozważanej formule w miejscu któregoś z wolnych wystąpień zmiennej   spowodowałoby związanie pewnej zmiennej termu t (w szczególności zmienne nie będące wolnymi w danej formule są wolne w niej dla wszystkich termów).

Formalnie natomiast definiujemy to pojęcie indukcyjnie ze względu na budowę formuły następująco:

  • jeśli   to  
  • jeśli   jest formułą atomową, to  
  • jeśli   to   gdzie  
  • jeśli   to  

oraz

  • jeśli   to   gdzie  

PrzykładyEdytuj

Rozważmy język ciał uporządkowanych   Niech termami   będą, odpowiednio     oraz   Rozważmy formułę   Wówczas

  •   to term  
  •   to term  
  •   to formuła   i podstawienie termu   za zmienną   w   jest dopuszczalne,
  •   oraz   są równokszałtne z   przy czym podstawienie termu   za zmienną   jest niedopuszczalne, zaś podstawienie tego samego termu za zmienną   jest dopuszczalne (choć nieskuteczne), bowiem zmienna ta nie jest wolna w rozważanej formule.

Aksjomaty logiczneEdytuj

Formuły następujących typów będą nazywane aksjomatami czystymi:

  • podstawienia formuł do tautologii rachunku zdań,
  • formuły postaci   (gdzie   to formuły),
  • formuły postaci   gdzie term   może być podstawiony za zmienną   w  
  • formuły postaci   gdzie zmienna   nie jest wolna w formule  
  • formuły postaci
 
  i
 
gdzie   są (niekoniecznie różnymi) zmiennymi,
  • formuły postaci
 
gdzie   są zmiennymi a   jest k-arnym symbolem relacyjnym,
  • formuły postaci
 
gdzie   są zmiennymi a   jest k-arnym symbolem funkcyjnym.

Aksjomaty czyste i formuły postaci   gdzie   jest aksjomatem czystym, są nazywane aksjomatami logicznymi.

Reguła wnioskowaniaEdytuj

Jeśli   są formułami języka   oraz   jest postaci   to powiemy, że formuła   może być wywnioskowana z   w oparciu o regułę modus ponens.

DowódEdytuj

Niech   będzie jakimś zbiorem formuł języka   (możliwie pustym). Dowodem ze zbioru aksjomatów A nazywamy skończony ciąg formuł   taki, że dla każdego  

  jest jedną z formuł z A lub
  jest aksjomatem logicznym, lub
  może być wywnioskowana z   w oparciu o regułę modus ponens. dla pewnych  

Jeśli   jest dowodem ze zbioru aksjomatów A, to powiemy że formuła   jest dowodliwa z A albo też że   jest twierdzeniem z A i napiszemy wtedy   Jeśli A jest zbiorem pustym to możemy pominąć je w naszych oznaczeniach i napisać  

Powiemy, że A jest sprzecznym zbiorem aksjomatów, jeśli dla pewnej formuły   mamy zarówno że   jak i   W przeciwnym razie mówimy, że A jest niesprzeczny.

Podstawowe własnościEdytuj

Niech   będzie jakimś zbiorem formuł języka   oraz niech   będą formułami tegoż języka.

  • Twierdzenie o dedukcji:   wtedy i tylko wtedy, gdy  
  • Twierdzenie o uogólnianiu: Jeśli zmienna x nie pojawia się jako zmienna wolna żadnej z formuł w A oraz   to  
  • Twierdzenie o wprowadzeniu kwantyfikatora  :
(1) Przypuśćmy że term t może być podstawiony za zmienną x w   Jeśli   to  
(2) Przypuśćmy że zmienna x nie jest wolna w   ani w żadnej z formuł w zbiorze A. Jeśli   to  
  • Twierdzenie o wprowadzeniu kwantyfikatora  :
(1) Przypuśćmy że term t może być podstawiony za zmienną x w   Jeśli   to  
(2) Przypuśćmy że zmienna x nie jest wolna w   ani w żadnej z formuł w zbiorze A. Jeśli   to  
  • Twierdzenie o zwartości I: zbiór zdań A jest niesprzeczny wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jego podzbiór skończony jest niesprzeczny.

Interpretacje (modele) języka pierwszego rzęduEdytuj

Ustalmy alfabet   ponadto ustalmy że   jest zbiorem stałych tego alfabetu,   jest zbiorem symboli funkcyjnych a   to zbiór symboli relacyjnych.

ModeleEdytuj

Interpretacją lub modelem języka   nazywamy układ

 

gdzie:

  • M jest niepustym zbiorem zwanym dziedziną lub uniwersum modelu   (często uniwersum modelu   oznacza się przez  ),
  • dla n-arnego symbolu relacyjnego     jest n-argumentową relacją na zbiorze M, tzn.  
  • dla n-arnego symbolu funkcyjnego     jest n-argumentowym działaniem na zbiorze M, tzn.  
  • dla stałej     jest elementem zbioru M.

Interpretacja termów w modeluEdytuj

Przez indukcję po złożoności termów języka   definiujemy interpretację termu w modelu  . Dla termu   o zmiennych wolnych zawartych wśród   i dla elementów   uniwersum modelu   wprowadzamy   następująco.

  • Jeśli t jest stałą c alfabetu τ, to  
  • Jeśli t jest zmienną   to  
  • Jeśli   i   jest  -arnym symbolem funkcyjnym, to  

Relacja spełniania w modeluEdytuj

Przez indukcję po złożoności formuł języka   definiujemy, kiedy formuła jest spełniona w modelu  . Dla formuły   o zmiennych wolnych zawartych wśród   i elementów   uniwersum modelu   wprowadzamy relację   (czyt. „formuła   jest spełniona w modelu   na elementach  ”) następująco.

  • Jeśli φ jest formułą   dla pewnych termów   których zmienne wolne są zawarte wśród   to stwierdzimy że   jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy elementy   i   zbioru M są identyczne.
  • Jeśli φ jest formułą   dla pewnych termów   których zmienne wolne są zawarte wśród   i k-arnego symbolu relacyjnego   to stwierdzimy że   jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy elementy  
  • Jeśli φ jest formułą   dla pewnych formuł   których zmienne wolne są zawarte wśród   to stwierdzimy że   jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy   oraz  
  • Jeśli φ jest formułą   dla pewnych formuł   których zmienne wolne są zawarte wśród   to stwierdzimy że   jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy   lub  
  • Jeśli φ jest formułą   dla pewnych formuł   których zmienne wolne są zawarte wśród   to stwierdzimy że   jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy   lub nie zachodzi że  
  • Jeśli φ jest formułą   dla pewnych formuł   których zmienne wolne są zawarte wśród   to stwierdzimy że   jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy albo oba zdania   i   są prawdziwe, albo oba są fałszywe.
  • Jeśli φ jest formułą   dla pewnej formuły   której zmienne wolne są zawarte wśród   to stwierdzimy że   jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy zdanie   jest fałszywe.
  • Jeśli φ jest formułą   dla pewnej formuły   której zmienne wolne są zawarte wśród   to stwierdzimy że   jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy zdanie   jest prawdziwe dla każdego ciągu   elementów uniwersum M takich, że   oraz   ilekroć   jest zmienną wolną w φ.
  • Jeśli φ jest formułą   dla pewnej formuły   której zmienne wolne są zawarte wśród   to stwierdzimy że   jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy dla pewnego ciągu   elementów uniwersum M takich, że   oraz   ilekroć   jest zmienną wolną w φ mamy, że  

Podstawowe własnościEdytuj

  • Twierdzenie o pełności: zbiór zdań A jest niesprzeczny wtedy i tylko wtedy, gdy ma on model (tzn. jest spełniony w pewnym modelu języka  ).
  • Twierdzenie o zwartości II: zbiór zdań A ma model wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jego podzbiór skończony ma model.

Modele niestandardoweEdytuj

Zazwyczaj podczas budowania zbioru aksjomatów matematycy mają na myśli jakiś konkretny model, który ma on opisywać. Niestety, najczęściej jeden zbiór aksjomatów posiada wiele nieizomorficznych modeli. „Właściwą” strukturę nazywa się wtedy modelem standardowym a każdą inną – modelem niestandardowym. Jedynie bardzo proste teorie posiadają dokładnie jeden model.

Fakt ten jest wadą logiki pierwszego rzędu. Dla większości teorii każdy skończony zbiór aksjomatów będzie zawsze nieprecyzyjny, tzn. nie będzie określał niektórych własności badanych obiektów i będzie można stworzyć zarówno model, gdzie taka własność zachodzi, jak i drugi model, gdzie ona nie zachodzi. Oba modele będą różne, ale jednak będą spełniać ten sam zestaw wyjściowych aksjomatów.

Modele niestandardowe można wyeliminować, ale potrzebne są do tego aksjomaty w logikach wyższego rzędu.

Każda aksjomatyzacja pierwszego rzędu liczb naturalnych posiada modele niestandardowe. W szczególności posiada je aksjomatyka Peana. Przykładem niestandardowego modelu aksjomatyki Peana są liczby hipernaturalne, czyli nieujemne liczby hiperrzeczywiste, które są równe swojej części całkowitej. Istnieją nawet przeliczalne modele niestandardowe arytmetyki. Dokładne opisanie takich modeli jest trudne, gdyż zarówno dodawanie, jak i mnożenie jest w nich nierozstrzygalne.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Martin Goldstern, The Incompleteness Phenomenon. A new course in mathematical logic, Haim Judah, Wellesley, Massachusetts: A K Peters, 1995, ISBN 1-56881-029-6, OCLC 29254857.
  2. Witold Adam Pogorzelski, Klasyczny rachunek kwantyfikatorów, zarys teorii, Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1981, ISBN 83-01-00567-X, OCLC 69480408.
  3. Zofia Adamowicz, Paweł Zbierski: Logic of mathematics. A modern course of classical logic. „Pure and Applied Mathematics” (New York). A Wiley-Interscience Publication. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1997. ​ISBN 0-471-06026-7​.
  4. Joseph R. Shoenfield: Mathematical Logic, Association for Symbolic Logic, 1967. ​ISBN 1-56881-135-7​.