Otwórz menu główne

Rachunek wariacyjny

Rachunek wariacyjny – dziedzina analizy matematycznej zajmująca się szukaniem ekstremów funkcjonałów określonych na przestrzeniach funkcyjnych.

Funkcjonały są to odwzorowania z przestrzeni wektorowej w liczby rzeczywiste. Rachunek wariacyjny zajmuje się więc szukaniem funkcji, dla której dany funkcjonał przyjmuje wartość ekstremalną. Najczęściej funkcjonał dany jest całką oznaczoną funkcji[1].

Uwagi ogólneEdytuj

Podstawowym zadaniem rachunku wariacyjnego jest znajdowanie ekstremalnych wartości funkcjonałów o postaci całek oznaczonych, reprezentujących określone wielkości fizyczne takie jak czas, długość, powierzchnia, ciężar, sztywność itp. Zadanie to jest analogiczne do zadania rachunku różniczkowego, poszukiwania ekstremum funkcji   Jest ono osiągane w punkcie   mającym tę własność, że   w przypadku maksimum i   w przypadku minimum, gdzie   jest małą wariacją zmiennej  

W rachunku wariacyjnym poszukujemy takiej funkcji   dla której funkcjonał   ma tę własność, że   w przypadku maksimum i   w przypadku minimum, gdzie   jest małą wariacją funkcji  

Poszukiwanie ekstremum funkcji  (o ciągłej pochodnej) w rachunku różniczkowym wymaga rozwiązania równania   które jest warunkiem koniecznym istnienia tego ekstremum. Podobnie w rachunku wariacyjnym poszukiwanie ekstremum funkcjonału   wymaga spełnienia określonego warunku koniecznego dla jego istnienia, którym okazuje się zwykle pewne równanie różniczkowe dla funkcji  

Przykładowe zagadnieniaEdytuj

Najkrótsza krzywa łącząca dwa punktyEdytuj

Osobny artykuł: Linia geodezyjna.

Zagadnienie znalezienia najkrótszej krzywej łączącej punkty w przestrzeni jest bardzo proste, jeśli wiemy, że będzie to linia prosta. W ogólności jednak, w zależności od metryki przestrzeni taka krzywa może mieć inną postać. Dowód tego faktu opiera się właśnie na rachunku wariacyjnym, ponieważ długość krzywej dana jest pewną całką.

W przypadku płaszczyzny euklidesowej (  z metryką euklidesową), krzywa łącząca punkty   i   dana jest funkcją   taką, że   i   gdzie  

Długość elementu krzywej ma postać (korzystając z twierdzenia Pitagorasa)

  gdzie   to małe zmiany współrzędnych.

Wtedy długość całej krzywej dana jest całką:

 

Metodami rachunku wariacyjnego możemy wyznaczyć krzywą minimalizującą funkcjonał dany tą całką. W tym przypadku krzywa ta dana jest równaniem:

 

Najkrótszy czas przejazduEdytuj

Pomiędzy miejscowościami   i   porusza się pojazd w terenie o tak zróżnicowanej nawierzchni, że w danym jej punkcie   musi zachować prędkość o wartości   Zakładając, że element trasy   pojazd przebywa w czasie   możemy czas   przejazdu z A do B po trasie   obliczyć za pomocą całki

 

której wartość zależy od wyboru trasy   i osiąga minimum dla trasy optymalnej  

Zasada FermataEdytuj

Osobny artykuł: Zasada Fermata.

Związane z szukaniem geodezyjnej jest szukanie drogi promienia światła. Jeśli współczynnik załamania światła w ośrodku jest stały, to światło biegnie po liniach prostych, ale załamuje się przy zmianach współczynnika załamania. Ogólnie, zgodnie z zasadą Fermata, światło porusza się po krzywej   dla której czas biegu promienia jest najkrótszy.

Czas, w którym światło pokonuje drogę   wynosi   gdzie   jest prędkością światła w ośrodku,   to prędkość światła w próżni, a   to bezwzględny współczynnik załamania światła.

Wobec tego funkcjonał, który chcemy minimalizować ma postać:

 

W przypadku dwuwymiarowym otrzymujemy:

 

gdzie   to krzywa, po której porusza się promień, taka, że   i  

Metody rachunku wariacyjnegoEdytuj

Równania Eulera-Lagrange’aEdytuj

Są to podstawowe równania rachunku wariacyjnego[2], służące do znajdowania ekstremów funkcjonałów danych całką. Rozwiązaniami równań E-L są funkcje, dla których całka przyjmuje wartości ekstremalne.

Jeśli funkcjonał ma postać

 

to równania E-L mają postać

 

gdzie   może być liczbą rzeczywistą albo wektorem – w drugim przypadku dostajemy układ równań

 

gdzie   jest  -tą współrzędną wektora  

Warto wspomnieć, że procedury rozwiązywania zagadnień wariacyjnych prowadzą często do równań różniczkowych cząstkowych, które w ogólności są bardzo trudne do rozwiązania. Zadanie komplikuje fakt, że teoria równań różniczkowych zajmuje się poszukiwaniem rozwiązań w otoczeniu danego punktu, natomiast w rachunku wariacyjnym interesuje nas rozwiązanie na danym obszarze.

PrzypisyEdytuj

  1. В.И. Смирнов, Курс высшей математики, t.IV, Гос. Издат. технико-теоретической литературы, Москва-Ленинград 1951
  2. K. Tatarkiewicz, Rachunek wariacyjny, cz.1-2, WNT, Warszawa 1970

BibliografiaEdytuj

  • John R. Taylor: Mechanika klasyczna. T. 1. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2006, s. 212–232. ISBN 978-83-01-14674-0.
  • Frederick W. Byron, Robert W. Fuller: Matematyka w fizyce klasycznej i kwantowej. T. 1. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1975, s. 45–53.