Ranga grupy abelowej

Ranga grupy abelowej – uogólnienie pojęcia rangi grupy abelowej wolnej na dowolne grupy abelowe; można ją postrzegać jako najmniejszą liczbę elementów generujących daną grupę abelową. Ranga grupy abelowej wyznacza rozmiar największej grupy abelowej wolnej zawartej w tej grupie. Jeżeli grupa jest beztorsyjna, to rangę można traktować analogicznie do wymiaru przestrzeni liniowej: jest to w istocie wymiar najmniejszej przestrzeni liniowej nad ciałem liczb wymiernych, w której można zanurzyć daną grupę abelową.

Grupy abelowe są modułami nad pierścieniem liczb całkowitych, więc niżej przedstawiona definicja przenosi się wprost na moduły nad dowolnymi pierścieniami; z kolei odpowiednikiem rangi grupy abelowej wolnej jest ranga modułu wolnego.

DefinicjaEdytuj

Niech   oznacza dowolną grupę abelową. Rangą grupy   nazywa się moc maksymalnego układu liniowo niezależnego zawierającego wyłącznie elementy rzędu nieskończonego i rzędu będącego potęgą pewnej liczby pierwszej. Rangę grupy abelowej   oznacza się zwykle symbolem  

Moc układu zawierającego wyłącznie elementy nieskończonego rzędu w   który jest maksymalny względem tej własności nazywa się rangą beztorsyjną grupy   i oznacza symbolem   Dla ustalonej liczby pierwszej   i grupy abelowej   definiuje się również liczbę kardynalną   jako moc maksymalnego układu liniowo niezależnego zawierające elementy postaci   gdzie   jest pewną nieujemną liczbą całkowitą.

Równoważnie rangę   grupy   można zdefiniować jako wymiar przestrzeni liniowej   (zob. iloczyn tensorowy) nad  

WłasnościEdytuj

  • Ranga   dla dowolnej liczby naturalnej   jest równa   ogólniej ranga grupy abelowej wolnej   nad zbiorem   jest równa jego mocy.
  • Grupa   jest rangi  
  • Równość   pociąga za sobą fakt, iż   musi być grupą trywialną. Z kolei   oznacza, że   jest torsyjna. Z drugiej strony dla grupy beztorsyjnej   zachodzi równość  
  • Ranga jest addytywna względem krótkich ciągów dokładnych: jeżeli   jest krótkim ciągiem dokładnym grup abelowych, to  
  • Jeżeli   oraz   oznaczają odpowiednio podgrupę torsyjną i podgrupę p-torsyjną grupy   to zachodzą równości
     
     
  • Ranga jest addytywna względem dowolnych sum prostych:
     
gdzie prawa strona równości wyrażona jest w arytmetyce liczb kardynalnych; w szczególności z faktu, iż dowolna grupa daje się rozłożyć na część beztorsyjną i torsyjną, ta zaś na tzw. p-składowe wynika (na podstawie poprzedniej własności), że wszystkie trzy rodzaje rang łączy następująca relacja:
 
  • Rangi  niezmiennikami grupy   Z powyższych obserwacji wynika, że aby udowodnić niezmienniczość   wystarczy dowieść niezmienniczości   oraz   co z kolei na podstawie powyższych zależności oznacza, że wystarcza ograniczyć się do grup beztorsyjnych oraz p-grup.

Grupy wyższych rangEdytuj

Ranga jest ważnym niezmiennikiem skończenie generowanych grup abelowych: każda taka grupa jest wyznaczona z dokładnością do izomorfizmu przez jej rangę i jej część torsyjną (w szczególności każda skończenie generowana beztorsyjna grupa abelowa jest grupą abelową wolną). Do tej pory ukończono klasyfikację beztorsyjnych grup abelowych rangi 1. Teoria grup abelowych wyższej rangi, a więc opis niezmienników takich grup, nadal jest przedmiotem badań.

Grupy abelowe rangi większej niż 1 są źródłem wielu interesujących przykładów. Przykładowo dla każdej liczby kardynalnej   istnieją beztorsyjne grupy abelowe rangi   które są nierozkładalne, tzn. nie mogą być wyrażone w postaci sumy prostej ich podgrup właściwych. Fakt ten ukazuje, że beztorsyjne grupy abelowe rangi większej niż 1 nie mogą być budowane z dobrze znanych beztorsyjnych grup abelowych rangi 1.

Co więcej, dla każdej liczby całkowitej   istnieje beztorsyjna grupa rangi   która ma rozkłady proste na   oraz na   nierozkładalnych składników. W ten sposób, dla grup rangi nie mniejszej niż   nie można określić jednoznacznie nawet liczby składników nierozkładalnych.

Ograniczenie się do rozkładów prostych o ustalonej liczbie nierozkładalnych składników także nie daje jednoznaczności rozkładu prostego, co obrazuje uderzający wynik Cornera: dla danych liczb całkowitych   istnieje taka beztorsyjna grupa abelowa   rangi   że dla dowolnego rozkładu   na   liczb naturalnych   dla   grupę   można przedstawić w postaci sumy prostej   nierozkładalnych podgrup o rangach   Oznacza to, że nawet ciąg rang składników nierozkładalnych danego rozkładu prostego beztorsyjnej grupy abelowej skończonej rangi nie może być niezmiennikiem  

Innym zaskakującym przykładem jest twierdzenie Fuchsa i Loonstry mówiące, iż dla danej liczby całkowitej   istnieją dwie nierozkładalne, beztorsyjne grupy abelowe   oraz   rangi   takie, że sumy proste   ich egzemplarzy są izomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy   dzieli  

Dla grup abelowych rangi nieskończonej istnieje przykład grupy   i jej podgrupy   o następujących własnościach:

  •   jest nierozkładalna;
  •   jest generowana przez   i dowolny inny element (tzn. jest sumą, lecz nieprostą);
  • dowolny niezerowy składnik prosty   jest nierozkładalny.