Reguła de l’Hospitala

twierdzenie rachunku różniczkowego i całkowego

Reguła de l’Hospitala lub de l’Hôpitala[a] – zwyczajowa nazwa twierdzenia rachunku różniczkowego i całkowego, które umożliwia wyznaczenie granic wyrażeń dających w wyniku symbol nieoznaczony.

Przykład zastosowania reguły de l’Hospitala dla funkcji i funkcja jest nieokreślona w punkcie ale może być kontynuowana jako funkcja ciągła w całym zbiorze z wykorzystaniem definicji

Rys historycznyEdytuj

Reguła ta została odkryta przez Jana Bernoulliego, opublikowana zaś przez jego ucznia Guillaume’a François Antoine’a de l’Hospitala[a]. W 1696 Guillaume de l’Hospital wydał pierwszy podręcznik rachunku różniczkowego i całkowego L’Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes, w którym zawarte zostało dyskutowane tu twierdzenie. De l’Hospital nigdy nie twierdził, że jest autorem tego twierdzenia, niemniej jednak nazwa reguła de l’Hospitala jest powszechnie używana.

Reguła de l’HospitalaEdytuj

Bezpośrednio z definicji pochodnej funkcji można wykazać następujące twierdzenie:

Jeżeli funkcje   i   są określone w przedziale otwartym zawierającym punkt   oraz
  1.  
  2.  
oraz istnieją (skończone) pochodne   i   przy czym  
wówczas
 
Jeśli dodatkowo   i   mają ciągłe pochodne w punkcie   to
 

Powyższe twierdzenie może być użyteczne w liczeniu granic wielu funkcji, np.

 

Często zdarza się jednak, że funkcje   i   nie są określone w punkcie   jednak ich iloraz ma w tym punkcie granicę. Prawdziwe jest wówczas następujące twierdzenie, zwane regułą de l’Hospitala:

Wersja podstawowa (dla granic w punkcie)Edytuj

Niech funkcje   i   będą określone w przedziale   oraz

  1.  
  2.  

lub

  1.  
  2.  

oraz istnieją (skończone) pochodne   i   w przedziale   przy czym   dla  

Wówczas, jeśli istnieje granica

 

to wtedy również

 

Analogiczne twierdzenie jest też prawdziwe dla granic lewostronnych i obustronnych.

Wersja dla granic w nieskończonościEdytuj

Niech funkcje   i   będą określone w przedziale   oraz

  1.  
  2.  

lub

  1.  
  2.  

oraz istnieją (skończone) pochodne   i   w przedziale   przy czym   dla  

Wówczas, jeśli istnieje granica

 

to wtedy również

 

Analogiczne twierdzenie jest też prawdziwe dla granic gdy  

Wersja twierdzenia dla funkcji n-krotnie różniczkowalnychEdytuj

Jeżeli funkcje   i   są określone w przedziale otwartym   zawierającym punkt   oraz

  1. w przedziale   istnieją (skończone) pochodne wszystkich rzędów do   włącznie funkcji   i  
  2.     oraz  
  3.   dla  

wówczas

 

ZastosowaniaEdytuj

  • Dla niektórych funkcji próba znalezienia ich granicy w pewnym punkcie poprzez podstawienie wartości x powoduje, że dochodzimy do wyrażenia nieoznaczonego:
 

W takim przypadku stosujemy regułę de l’Hospitala, zamieniając licznik oraz mianownik wyrażenia na ich pochodne:

 

Uwaga: nie jest to dowód! Przy obliczaniu pochodnej sinusa potrzebna jest wartość granicy  

  • Twierdzenie to jest niezwykle przydatne przy obliczaniu granic funkcji. Może się jednak zdarzyć, że granica ilorazu pochodnych nie istnieje, a mimo to istnieje granica ilorazu funkcji.
  • Niekiedy aby uzyskać wynik, należy obliczyć granice ilorazu kilku kolejnych pochodnych.

Zobacz teżEdytuj

UwagiEdytuj

  1. a b Ze względu na ewolucję pisowni francuskiej nazwisko „de l’Hospital” można również pisać „de l’Hôpital” bez (niemego) „s”, lecz z cyrkumfleksem nad „o”, co nie wpływa na wymowę – obie wersje wymawia się [dəlopi'tal].

BibliografiaEdytuj