Rejestr przesuwający z liniowym sprzężeniem zwrotnym

Rejestr przesuwający z liniowym sprzężeniem zwrotnym (ang. linear feedback shift register, LFSR) – rejestr przesuwający, którego bit wejściowy jest funkcją liniową jego poprzedniego stanu.

Jedynymi funkcjami liniowymi w dziedzinie pojedynczych bitów są EX-OR oraz EX-NOR. Z tego powodu LFSR można zdefiniować jako rejestr przesuwający, którego wejście jest wysterowane funkcją XOR stanów kilku z komórek tworzących rejestr.

Najczęstsze zastosowania LFSR to generowanie liczb pseudolosowych i pseudoszumu.

Każdy LFSR jest związany z określonym wielomianem z pierścienia wielomianów $R[t],$ gdzie $R$ jest ciałem skończonym $\mathbb {Z} _{2}.$

Okres rejestru jest ograniczony przez stopień stowarzyszonego z nim wielomianu i wynosi maksymalnie $2^{d}-1,$ gdzie $d$ jest stopniem wielomianu (ciało $\mathbb {Z} _{2}$ ma charakterystykę równą 2).

Okres danego LFSR jest maksymalny jeżeli stowarzyszony z nim wielomian jest wielomianem pierwotnym. Rejestr taki, nazywamy rejestrem maksymalnej długości.

Liczba wielomianów pierwotnych stopnia $d$ jest wyznaczona przez funkcję Eulera i wynosi $\varphi (2^{d}-1)/d.$ Tak więc, dla przykładu dla rejestrów długości 7 istnieje dokładnie $\varphi (2^{7}-1)/7=\varphi (127)/7=126/7=18$ rejestrów maksymalnej długości.

Jeżeli znany jest stopień wielomianu wystarczy zaledwie $2d$ bitów wyjścia rejestru, by znaleźć ów wielomian. (Gdyż należy rozwiązać $d$ równań, każde z $d$ niewiadomymi, ale żeby otrzymać $d$ równań wystarczy zaledwie $2d$ bitów wyjścia)

W celu stosowania rejestrów w kryptografii, np. w szyfrach strumieniowych wykorzystuje się różne metody przełamywania liniowości:

nieliniowa kombinacja kilku bitów z aktualnego stanu rejestru,
kombinacja bitów z kilku różnych rejestrów za pomocą funkcji nieliniowej,
nieliniowa kombinacja bitów z kilku różnych rejestrów (np. generator redukujący)^[1],
regulacja większościowa częstotliwości taktowania rejestru (np. taka jak w szyfrze strumieniowym A5/1).

Zobacz też edytuj

Przypisy edytuj

↑ The Shrinking Generator. W: Don Coppersmith, Hugo Krawczyk, Yishay Mansour: Advances in Cryptology – CRYPTO ’93. s. 22–39. DOI: 10.1007/3-540-48329-2. (ang.).

Bibliografia edytuj

6. Stream Ciphers. W: Alfred J. Menezes, Paul C. van Oorschot, Scott A. Vanstone: Handbook of applied cryptography. Boca Raton: CRC Press, 1997. ISBN 0-8493-8523-7.
Berlekamp-Massey Algorithm. PlanetMath, 2005-04-14. [dostęp 2010-06-03]. [zarchiwizowane z tego adresu (2012-07-16)]. (ang.).

[ShrinkingGenerator-1] The Shrinking Generator. W: Don Coppersmith, Hugo Krawczyk, Yishay Mansour: Advances in Cryptology – CRYPTO ’93. s. 22–39. DOI: 10.1007/3-540-48329-2. (ang.).

[1]