Relacja dwuargumentowa

Ten artykuł dotyczy relacji dwuargumentowej. Zobacz też: relacje trójargumentowe i relacje skończenieargumentowe.

Relacja dwuargumentowa, dwuczłonowa albo binarna – dowolny podzbiór iloczynu kartezjańskiego dwóch zbiorów[1].

Wprowadzenie do zagadnienia można znaleźć w artykule o relacjach skończonej liczby argumentów.

DefinicjeEdytuj

Relacja dwuargumentowa   jako podzbiór iloczynu kartezjańskiego   i   jest zbiorem par uporządkowanych postaci   należących do zbioru   czasami zamiast   pisze się   i mówi, że element   jest w relacji   z elementem   bądź między elementami   zachodzi relacja   Istnieje pewna rozbieżność względem nazewnictwa dotyczącego zbiorów; tutaj dziedziną i przeciwdziedziną nazywane będą odpowiednio zbiory   i   z kolei zbiór

 

tzn. zbiór złożony ze wszystkich poprzedników par należących do relacji   nazywany będzie dziedziną lewostronną (często nazywa się ją nieprecyzyjnie po prostu dziedziną), zaś zbiór

 

tzn. zbiór złożony ze wszystkich następników par należących do relacji   nazywany będzie dziedziną prawostronną lub obrazem tej relacji (zob. Własności). Sumę dziedzin lewostronnej i prawostronnej (dziedziny i obrazu) nazywa się polem relacji. Zbiór   wszystkich relacji dwuargumentowych między zbiorami   ma moc  

WłasnościEdytuj

 
Całkowita, niesuriektywna relacja funkcyjna będąca iniekcją
 
Odpowiedniość jednoznaczna tylko prawostronnie
Jednoznaczność
  • jednoznaczność lewostronna lub iniektywność,
     
  • jednoznaczność prawostronna lub funkcyjność,
     
  • jednoznaczność obustronna bądź wzajemna (1-1),
    iniektywność i funkcyjność.
Całkowitość
  • całkowitość lewostronna lub krótko całkowitość,
     
  • całkowitość prawostronna lub suriektywność,
     
  • odpowiedniość,
    całkowitość i suriektywność.

Funkcją nazywa się dowolną relację funkcyjną całkowitą (lewostronnie), jeśli   to funkcję nazywa się zwykle działaniem jednoargumentowym; z kolei wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość, nazywaną bijektywnością, nazywa się funkcją wzajemnie jednoznaczną lub bijekcją. W przypadku funkcji pojęcia dziedziny, przeciwdziedziny i obrazu pokrywają się z definicjami dla relacji; nazywanie wtedy dziedziną dziedziny lewostronnej nie prowadzi do niejasności, gdyż są one sobie równe.

Relacje w zbiorzeEdytuj

Jeżeli   tzn.   to o relacji   mówi się, że jest określona w/na zbiorze   Zbiór par   nazywa się wtedy przekątną. W tym przypadku możliwe jest określenie kolejnych własności tego rodzaju relacji:

  • zwrotność,
     
  • przeciwzwrotność (ścisłość),
     
  • symetryczność,
     
  • antysymetryczność (słaba antysymetryczność),
     
  • przeciwsymetryczność lub asymetryczność (ścisła antysymetryczność),
     
  • przechodniość,
     
  • spójność (dokładniej: porównywalność lub całkowitość),
     
  • spójność,
     
  • trychotomiczność,
     
  • euklidesowość (prawostronna),
     
Relacje dwuargumentowe według własności
Nazwa relacji Zwrot. Symetr. Przech. Symbol Przykład
graf skierowany  
graf nieskierowany Nie Tak
turniej Nie Nie porządek dziobania
zależność Tak Tak
słaby porządek Tak  
praporządek Tak Tak   preferencja
częściowy porządek Tak Nie Tak   zawieranie
częściowa równoważność Tak Tak
równoważność Tak Tak Tak   równość
ostry częściowy porządek Nie Nie Tak   zawieranie właściwe

Relacja jest:

  • trychotomiczna wtedy i tylko wtedy, gdy jest przeciwzwrotna, antysymetryczna i spójna (nie: porównywalność);
  • przeciwsymetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy jest antysymetryczna i przeciwzwrotna;
  • antysymetryczna wtedy, gdy jest przeciwzwrotna i przechodnia;
  • zwrotna wtedy, gdy jest porównywalna (spójna);
  • pod założeniem symetryczności – euklidesowa wtedy i tylko wtedy, gdy jest przechodnia;
  • symetryczna i przechodnia wtedy, gdy jest euklidesowa i zwrotna.

RodzajeEdytuj

Ustalone kombinacje powyższych własności mają swoje własne nazwy:

  • tolerancja lub podobieństwo – zwrotność i symetryczność; zależność – dodatkowo skończone pole;
  • opozycja – przeciwzwrotność i symetryczność; niezależność – dodatkowo skończone pole;
  • równoważność – zwrotność, symetryczność i przechodniość; zwrotność i euklidesowość;
  • równość – równoważność i antysymetryczność (relacja równa przekątnej);
  • praporządek lub quasi-porządek – zwrotność i przechodniość;
  • częściowy porządek – zwrotność, antysymetryczność i przechodniość; wariant ostry: przeciwzwrotność bądź antysymetryczność i przechodniość (zob. wyżej);
  • porządek liniowy albo całkowity lub łańcuch – antysymetryczność, przechodniość i porównywalność/całkowitość (spójność); wariant ostry: przechodniość i trychotomiczność.

Wśród pozostałych własności można wymienić dobre ufundowanie i konfluentości: słabą i silną, seryjność oraz gęstość; relacjami, definiowanymi za pomocą wymienionych wyżej własności, są m.in. dobry porządek (dobre ufundowanie, ostry porządek liniowy) i relacja równoważności (seryjność, symetryczność, przechodniość).

PrzykładyEdytuj

 
Niespójna figura geometryczna na płaszczyźnie jako przykład relacji na zbiorze liczb rzeczywistych.

Najprostszą relacją, którą można określić na dowolnych dziedzinach, jest relacja pusta równa zbiorowi pustemu   Określona na jednym zbiorze jest symetryczna, antysymetryczna, przeciwsymetryczna, przeciwzwrotna i przechodnia, ale nie spójna ani zwrotna (chyba że jest określona na zbiorze pustym), jest ona bijekcją zbioru pustego, szczególnym przypadkiem tzw. funkcji pustej.

Na „drugim biegunie” można znaleźć relację pełną równą   Określona na zbiorze jest tam zwrotna, symetryczna, spójna, przechodnia (relacja równoważności o jednej klasie abstrakcji), nie jest przeciwzwrotna, antysymetryczna, przeciwsymetryczna (o ile nie jest określona na zbiorze pustym).

W zbiorze liczb rzeczywistych   obok struktury algebraicznej jaką jest ciało wprowadza się również relacje równoważności i porządku (zob. ciało uporządkowane), np. równość   czy porządek liniowy   („mniejsze-równe”) liczb rzeczywistych. Relacje na zbiorze liczb rzeczywistych można traktować jak figury na płaszczyźnie: relacją pustą jest wtedy figura pusta, relacją pełną jest cała płaszczyzna, a przekątną tworzy prosta będąca wykresem funkcji tożsamościowej (w modelu analitycznym płaszczyzny euklidesowej, czyli z wybranym układem współrzędnych); relacjami równoważności na płaszczyźnie są np. przystawanie, czy podobieństwo.

PrzypisyEdytuj

  1. relacja, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-10-10].